B. Metode Grafik

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menggambar grafik persamaan linear dua variabel pada bidang koordinat.
2. Siswa dapat menentukan penyelesaian SPLDV melalui titik potong dua garis.
3. Siswa dapat mengenali ciri grafik untuk SPLDV yang tidak punya penyelesaian atau punya tak terhingga penyelesaian.

Materi

Langkah menggambar garis dari persamaan linear

Untuk menggambar garis $ax+by=c$, cara termudah adalah mencari dua titik potong sumbu:

1. Titik potong sumbu-x: substitusikan $y=0$, selesaikan untuk $x$.
2. Titik potong sumbu-y: substitusikan $x=0$, selesaikan untuk $y$.
3. Plot kedua titik pada bidang koordinat, lalu tarik garis lurus melalui keduanya.

Menentukan penyelesaian SPLDV dari grafik

Gambar kedua garis pada bidang koordinat yang sama. Penyelesaian SPLDV adalah titik potong kedua garis tersebut (pasangan $(x,y)$ yang berada pada kedua garis sekaligus).

Tiga kemungkinan hasil grafik

1. Berpotongan di satu titik → satu penyelesaian.
2. Sejajar (tidak pernah berpotongan) → tidak ada penyelesaian.
3. Berimpit (garis yang sama) → tak terhingga penyelesaian.

Contoh

Contoh 1: Gambarkan garis $x+y=4$ dan tentukan titik potong sumbunya.

Penyelesaian:

• Titik potong sumbu-x ($y=0$): $x=4$, titik $(4,0)$.
• Titik potong sumbu-y ($x=0$): $y=4$, titik $(0,4)$.
• Garis melalui $(4,0)$ dan $(0,4)$.

Contoh 2: Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode grafik: $x+y=4$ dan $x-y=2$.

Penyelesaian:

• Garis 1 ($x+y=4$): titik potong $(4,0)$ dan $(0,4)$.
• Garis 2 ($x-y=2$): titik potong sumbu-x ($y=0$): $x=2$, titik $(2,0)$; titik potong sumbu-y ($x=0$): $-y=2 \Rightarrow y=-2$, titik $(0,-2)$.
• Kedua garis berpotongan di titik $(3,1)$ (dapat diperiksa: $3+1=4$ benar, $3-1=2$ benar).

Jadi penyelesaiannya $(3,1)$.

Contoh 3: Tentukan jenis penyelesaian SPLDV berikut tanpa menggambar penuh, cukup dengan membandingkan gradien: $2x+y=6$ dan $2x+y=10$.

Penyelesaian:

• Kedua persamaan memiliki ruas kiri yang identik ($2x+y$) tetapi konstanta berbeda ($6$ dan $10$).
• Ini berarti kedua garis memiliki gradien yang sama tetapi posisi berbeda, sehingga garisnya sejajar dan tidak ada penyelesaian.

Latihan

1. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis $2x+y=8$.

2. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis $x-2y=6$.

3. Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian SPLDV: $x+y=6$ dan $x-y=2$.

4. SPLDV $y=2x+1$ dan $y=2x-3$ memiliki penyelesaian berupa ….

   A. Satu titik B. Tidak ada (sejajar) C. Tak terhingga (berimpit) D. Dua titik

5. Jelaskan bagaimana ciri grafik dua garis yang berimpit.

6. SPLDV $x+y=5$ dan $2x+2y=10$ memiliki penyelesaian jenis apa? Jelaskan.

Jawab:

1. Sumbu-x ($y=0$): $x=4$, titik $(4,0)$. Sumbu-y ($x=0$): $y=8$, titik $(0,8)$.
2. Sumbu-x ($y=0$): $x=6$, titik $(6,0)$. Sumbu-y ($x=0$): $-2y=6 \Rightarrow y=-3$, titik $(0,-3)$.
3. Garis 1: $(6,0)$ dan $(0,6)$. Garis 2: $(2,0)$ dan $(0,-2)$. Titik potong: $(4,2)$ (periksa: $4+2=6$ benar, $4-2=2$ benar).
4. B. Kedua garis memiliki gradien sama ($2$) tetapi konstanta berbeda, sehingga sejajar dan tidak berpotongan.
5. Kedua garis memiliki persamaan yang sebenarnya sama (satu adalah kelipatan yang lain), sehingga digambar sebagai garis yang benar-benar menumpuk/sama.
6. Persamaan kedua adalah 2 kali persamaan pertama ($2(x+y)=2(5)$), sehingga kedua garis berimpit dan penyelesaiannya tak terhingga banyak.

Kuis Formatif

1. Sebutkan langkah mencari titik potong sumbu-y dari suatu garis.
2. SPLDV manakah yang grafiknya berpotongan di satu titik: (a) $x+y=3$ dan $x+y=7$, atau (b) $x+y=3$ dan $x-y=1$? Jelaskan.
3. Tentukan titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari garis $3x+y=9$.
4. Dengan metode grafik, tentukan penyelesaian SPLDV: $x+y=7$ dan $x-y=1$.
5. Mengapa dua garis yang sejajar tidak memiliki penyelesaian SPLDV?

Jawaban kunci:

1. Substitusikan $x=0$ ke persamaan, lalu selesaikan untuk $y$.
2. (b), karena gradien kedua garis berbeda sehingga pasti berpotongan di satu titik; (a) sejajar karena ruas kiri sama tapi konstanta berbeda.
3. Sumbu-x: $x=3$, titik $(3,0)$. Sumbu-y: $y=9$, titik $(0,9)$.
4. Jumlahkan kedua persamaan: $2x=8 \Rightarrow x=4$; substitusi: $4+y=7 \Rightarrow y=3$. Penyelesaian $(4,3)$.
5. Karena garis sejajar memiliki kemiringan yang sama tetapi posisi berbeda, sehingga jaraknya tetap dan tidak akan pernah bertemu di satu titik manapun.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.