A. Panjang Sudut

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengaruh faktor skala $k$ terhadap panjang sisi, diagonal, dan keliling suatu bangun.
• Menjelaskan mengapa besar sudut pada bangun bayangan tidak berubah akibat dilatasi atau kesebangunan.
• Menentukan panjang bayangan suatu bangun jika faktor skala $k$ diketahui, atau sebaliknya.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan perbandingan panjang dan sudut pada bangun-bangun sebangun.

Materi

1. Faktor Skala pada Perubahan Proporsional

Ketika suatu bangun diperbesar atau diperkecil (melalui dilatasi maupun sekadar digambar ulang secara sebangun), bangun bayangan yang terbentuk sebangun dengan bangun aslinya. Ukuran perbandingan antara bangun bayangan dan bangun asli disebut faktor skala, dilambangkan dengan $k$.

$k = \frac{\text{panjang pada bayangan}}{\text{panjang bersesuaian pada bangun asli}}$

• Jika $k > 1$, bangun diperbesar.
• Jika $0 < k < 1$, bangun diperkecil.
• Jika $k = 1$, bangun bayangan kongruen (sama persis) dengan bangun asli.

2. Pengaruh Faktor Skala terhadap Panjang

Setiap panjang pada bangun, baik itu panjang sisi, diagonal, jari-jari, maupun keliling, berubah menjadi $k$ kali panjang semula.

$\text{panjang bayangan} = k \times \text{panjang asli}$

Karena keliling adalah jumlah dari seluruh panjang sisi suatu bangun, dan setiap sisi dikalikan $k$, maka keliling bayangan juga menjadi $k$ kali keliling asli:

$\text{keliling bayangan} = k \times \text{keliling asli}$

3. Pengaruh Faktor Skala terhadap Sudut

Berbeda dengan panjang, besar sudut pada bangun bayangan tidak berubah. Dilatasi maupun pembesaran/pengecilan yang sebangun hanya mengubah ukuran suatu bangun, bukan bentuknya. Karena bentuk tetap sama, seluruh sudut yang bersesuaian antara bangun asli dan bayangan tetap sama besar.

Sifat inilah yang membuat bangun hasil dilatasi disebut sebangun (bentuknya sama, ukurannya berbeda) dengan bangun aslinya, bukan sekadar bangun yang mirip sembarangan. Misalnya, jika sebuah segitiga siku-siku dengan sudut $90°, 60°, 30°$ diperbesar dengan faktor skala $k = 2$, maka semua sisinya menjadi dua kali panjang semula, tetapi ketiga sudutnya tetap $90°, 60°, 30°$.

Sifat ini berlaku meskipun $k$ bernilai negatif (dilatasi yang membalik arah/orientasi bangun). Nilai $k$ yang berbeda hanya memengaruhi ukuran dan arah bangun, sama sekali tidak memengaruhi besar sudutnya.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Segitiga $ABC$ siku-siku di $B$ dengan $AB = 6\text{ cm}$, $BC = 8\text{ cm}$, dan $AC = 10\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $k = 1{,}5$ menghasilkan segitiga $A'B'C'$. Tentukan panjang sisi-sisi bayangan dan besar sudut $B'$!

Penyelesaian: $A'B' = 1{,}5 \times 6 = 9\text{ cm}$ $B'C' = 1{,}5 \times 8 = 12\text{ cm}$ $A'C' = 1{,}5 \times 10 = 15\text{ cm}$

Karena dilatasi tidak mengubah besar sudut, maka $\angle B' = \angle B = \mathbf{90°}$.

Contoh 2 (Menentukan Faktor Skala dari Perbandingan Panjang): Sebuah foto berukuran $10\text{ cm} \times 15\text{ cm}$ dicetak ulang menjadi ukuran yang lebih besar dengan panjang sisi pendek $25\text{ cm}$, tetap sebangun dengan foto asli. Tentukan faktor skala $k$ dan panjang sisi lainnya pada foto hasil cetak ulang!

Penyelesaian: $k = \frac{25}{10} = 2{,}5$

Panjang sisi yang bersesuaian dengan $15\text{ cm}$: $15 \times 2{,}5 = 37{,}5\text{ cm}$

Jadi, faktor skalanya $\mathbf{k = 2{,}5}$ dan ukuran foto hasil cetak ulang adalah $\mathbf{25\text{ cm} \times 37{,}5\text{ cm}}$.

Contoh 3 (Sudut dan Keliling): Trapesium $KLMN$ memiliki besar sudut $K = 70°$, $L = 110°$, $M = 110°$, $N = 70°$, dan keliling $50\text{ cm}$. Trapesium tersebut diperkecil dengan faktor skala $k = 0{,}4$ menjadi trapesium $K'L'M'N'$. Tentukan besar sudut-sudut dan keliling trapesium bayangan!

Penyelesaian: Besar sudut tidak berubah, sehingga: $\angle K' = 70°, \quad \angle L' = 110°, \quad \angle M' = 110°, \quad \angle N' = 70°$

Keliling bayangan: $\text{keliling}' = k \times \text{keliling asli} = 0{,}4 \times 50 = \mathbf{20\text{ cm}}$

Latihan Mandiri

1. Persegi panjang berukuran $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $3$. Tentukan ukuran bayangan dan besar sudut-sudutnya!
2. Segitiga $PQR$ sebangun dengan segitiga $P'Q'R'$ dengan faktor skala $k = 0{,}25$. Jika $PQ = 20\text{ cm}$, $QR = 16\text{ cm}$, dan $PR = 12\text{ cm}$, tentukan keliling segitiga $P'Q'R'$!
3. Segi empat $KLMN$ memiliki sudut $K = 80°$, $L = 100°$, $M = 80°$, $N = 100°$. Bangun ini didilatasi dengan faktor skala $k = -2$. Tentukan besar sudut-sudut pada bayangan $K'L'M'N'$!
4. Sebuah taman berbentuk segitiga dengan panjang sisi $12\text{ m}$, $16\text{ m}$, dan $20\text{ m}$ akan dibuat miniatur dengan faktor skala $\frac{1}{400}$. Tentukan panjang sisi-sisi miniatur tersebut dalam cm!
5. Dua bangun sebangun memiliki sepasang sisi bersesuaian sepanjang $9\text{ cm}$ dan $15\text{ cm}$. Jika keliling bangun pertama adalah $42\text{ cm}$, tentukan keliling bangun kedua!
6. Benar atau salah, beserta alasannya: “Jika sebuah persegi diperbesar dengan faktor skala $4$, maka semua sudutnya menjadi $4$ kali lebih besar.”

Jawaban:

1. $k = 3$, sehingga ukuran bayangan $24\text{ cm} \times 15\text{ cm}$. Karena dilatasi tidak mengubah sudut, besar setiap sudut tetap $\mathbf{90°}$.
2. Keliling asli $= 20 + 16 + 12 = 48\text{ cm}$. Keliling bayangan $= 0{,}25 \times 48 = \mathbf{12\text{ cm}}$.
3. Besar sudut tidak dipengaruhi oleh tanda maupun nilai $k$, sehingga sudut bayangan tetap $\mathbf{K' = 80°, L' = 100°, M' = 80°, N' = 100°}$.
4. Ubah dahulu ke cm: $12\text{ m} = 1.200\text{ cm}$, $16\text{ m} = 1.600\text{ cm}$, $20\text{ m} = 2.000\text{ cm}$. Dikalikan $\frac{1}{400}$: $1.200 \times \frac{1}{400} = \mathbf{3\text{ cm}}$, $1.600 \times \frac{1}{400} = \mathbf{4\text{ cm}}$, $2.000 \times \frac{1}{400} = \mathbf{5\text{ cm}}$.
5. $k = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$. Keliling kedua $= 42 \times \frac{5}{3} = \mathbf{70\text{ cm}}$.
6. Salah. Dilatasi (perubahan faktor skala) hanya mengubah ukuran panjang suatu bangun, bukan bentuknya. Besar sudut pada bangun bayangan selalu sama dengan besar sudut pada bangun asli, sehingga sudut persegi tetap $90°$, bukan menjadi $4 \times 90°$.

Kuis Formatif

1. Sebuah segitiga dengan sudut $50°, 60°, 70°$ diperbesar dengan faktor skala $3$. Berapakah besar sudut-sudut pada bayangannya?
2. Jika panjang asli suatu sisi adalah $8\text{ cm}$ dan panjang bayangannya $20\text{ cm}$, tentukan faktor skala $k$!
3. Sebuah persegi dengan keliling $32\text{ cm}$ diperkecil dengan faktor skala $0{,}25$. Tentukan keliling bayangannya!
4. Manakah pernyataan yang benar mengenai dilatasi atau kesebangunan? A. Sudut berubah sebanding dengan $k$ B. Panjang berubah sebanding dengan $k$, sedangkan sudut tetap C. Panjang tetap, sudut berubah sebanding dengan $k$ D. Panjang dan sudut sama-sama berubah sebanding dengan $k$
5. Segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $DEF$ dengan faktor skala $k = \frac{1}{3}$ (dari $ABC$ ke $DEF$). Jika $AB = 18\text{ cm}$, tentukan panjang $DE$!

Jawaban kunci:

1. Tetap $50°, 60°, 70°$ karena besar sudut tidak berubah akibat perubahan faktor skala.
2. $k = \frac{20}{8} = 2{,}5$.
3. Keliling bayangan $= 0{,}25 \times 32 = 8\text{ cm}$.
4. B.
5. $DE = \frac{1}{3} \times 18 = 6\text{ cm}$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.