C. Pengaruh Volume

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan hubungan antara faktor skala $k$ dan perubahan volume suatu bangun ruang.
• Menurunkan alasan mengapa volume berubah sebanding dengan $k^3$.
• Menghitung volume bayangan, volume asli, atau faktor skala jika salah satu besaran lain diketahui.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan perubahan volume akibat pembesaran atau pengecilan bangun ruang.

Materi

1. Mengapa Volume Berubah Sebanding $k^3$

Volume suatu bangun ruang dihitung dari hasil kali tiga besaran panjang, misalnya panjang $\times$ lebar $\times$ tinggi pada balok, atau luas alas $\times$ tinggi pada tabung dan prisma. Jika bangun ruang tersebut diperbesar/diperkecil dengan faktor skala $k$, maka ketiga dimensinya ikut dikalikan $k$, sehingga:

$\text{Volume bayangan} = (k \times p) \times (k \times l) \times (k \times t) = k^3 \times (p \times l \times t) = k^3 \times \text{Volume asli}$

Secara umum berlaku:

$\frac{\text{Volume bayangan}}{\text{Volume asli}} = k^3 \quad \text{atau} \quad V' = k^3 \times V$

2. Berlaku untuk Semua Bangun Ruang Sebangun

Hubungan ini berlaku untuk semua bangun ruang yang sebangun, apapun bentuknya. Contoh pada tabung dengan jari-jari $r$ dan tinggi $t$ yang masing-masing menjadi $kr$ dan $kt$:

$V' = \pi (kr)^2 (kt) = k^3 \pi r^2 t = k^3 \times V$

Begitu pula pada bola dengan jari-jari $r$ yang menjadi $kr$:

$V' = \frac{4}{3}\pi (kr)^3 = k^3 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = k^3 \times V$

3. Ringkasan Perbandingan Panjang, Luas, dan Volume

Ketiga submateri pada bab ini saling berkaitan. Jika suatu bangun diubah dengan faktor skala $k$, maka:

• Panjang bayangan $= k \times$ panjang asli (berbanding lurus dengan $k$).
• Luas bayangan $= k^2 \times$ luas asli (berbanding lurus dengan $k^2$).
• Volume bayangan $= k^3 \times$ volume asli (berbanding lurus dengan $k^3$).

Pola pangkat ini muncul karena panjang melibatkan satu dimensi, luas dua dimensi, dan volume tiga dimensi.

4. Menentukan Faktor Skala dari Perbandingan Volume

Jika rasio volume dua bangun sebangun diketahui, faktor skala dapat dicari dengan akar pangkat tiga:

$k = \sqrt[3]{\frac{\text{Volume bayangan}}{\text{Volume asli}}}$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Balok berukuran $3\text{ cm} \times 4\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $k = 2$. Tentukan volume asli, volume bayangan, dan buktikan bahwa rasio volumenya sama dengan $k^3$!

Penyelesaian: Volume asli $= 3 \times 4 \times 5 = 60\text{ cm}^3$.

Ukuran bayangan: $6\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 10\text{ cm}$, sehingga volume bayangan $= 6 \times 8 \times 10 = 480\text{ cm}^3$.

Rasio volume $= \dfrac{480}{60} = 8 = 2^3 = k^3$. Terbukti sesuai.

Contoh 2 (Bola): Sebuah bola plastik berjari-jari $6\text{ cm}$ dibuat versi mainan yang lebih kecil dengan jari-jari $3\text{ cm}$. Tentukan faktor skala $k$, lalu bandingkan volume bola asli dengan volume bola mainan!

Penyelesaian: $k = \frac{3}{6} = 0{,}5$

Volume bola asli: $V = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi\text{ cm}^3$

Volume bola mainan: $V' = k^3 \times V = 0{,}5^3 \times 288\pi = 0{,}125 \times 288\pi = \mathbf{36\pi\text{ cm}^3}$

Contoh 3 (Menentukan Faktor Skala dari Rasio Volume): Dua tabung sebangun memiliki volume $250\text{ cm}^3$ dan $2.000\text{ cm}^3$. Tentukan faktor skala $k$ dari tabung kecil ke tabung besar!

Penyelesaian: $k^3 = \frac{2.000}{250} = 8$ $k = \sqrt[3]{8} = \mathbf{2}$

Latihan Mandiri

1. Kubus dengan rusuk $4\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $3$. Tentukan volume bayangannya!
2. Dua balok sebangun memiliki faktor skala $k = \frac{3}{2}$. Jika volume balok kecil $40\text{ cm}^3$, tentukan volume balok besar!
3. Sebuah miniatur mobil dibuat dengan faktor skala $\frac{1}{20}$ dari mobil aslinya. Jika volume mobil asli $12.000.000\text{ cm}^3$, tentukan volume miniatur tersebut!
4. Sebuah tangki berbentuk tabung memiliki volume $4.000\text{ cm}^3$, akan dibuat model dengan volume $500\text{ cm}^3$. Tentukan faktor skala $k$ model tersebut terhadap tangki asli!
5. Dua bangun ruang sebangun memiliki sepasang rusuk bersesuaian $5\text{ cm}$ dan $15\text{ cm}$. Jika volume bangun pertama $250\text{ cm}^3$, tentukan volume bangun kedua!
6. Benar atau salah, beserta alasannya: “Jika faktor skala $k = 2$, maka volume bayangan menjadi $2$ kali volume asli.”

Jawaban:

1. Volume asli $= 4^3 = 64\text{ cm}^3$. Volume bayangan $= 3^3 \times 64 = 27 \times 64 = \mathbf{1.728\text{ cm}^3}$.
2. Volume besar $= \left(\frac{3}{2}\right)^3 \times 40 = \frac{27}{8} \times 40 = \mathbf{135\text{ cm}^3}$.
3. Volume miniatur $= \left(\frac{1}{20}\right)^3 \times 12.000.000 = \frac{1}{8.000} \times 12.000.000 = \mathbf{1.500\text{ cm}^3}$.
4. $k^3 = \frac{500}{4.000} = 0{,}125$, sehingga $k = \sqrt[3]{0{,}125} = \mathbf{0{,}5}$.
5. $k = \frac{15}{5} = 3$. Volume kedua $= 3^3 \times 250 = 27 \times 250 = \mathbf{6.750\text{ cm}^3}$.
6. Salah. Rasio volume selalu sama dengan $k^3$, bukan $k$. Untuk $k = 2$, volume bayangan menjadi $2^3 = 8$ kali volume asli, bukan $2$ kali. Aturan berbanding lurus dengan $k$ hanya berlaku untuk panjang, bukan volume.

Kuis Formatif

1. Jika $k = 4$, tentukan rasio volume bayangan terhadap volume asli!
2. Sebuah balok dengan volume $15\text{ cm}^3$ diperbesar dengan faktor skala $3$. Tentukan volume bayangannya!
3. Dua bangun ruang sebangun memiliki volume $27\text{ cm}^3$ dan $216\text{ cm}^3$. Tentukan faktor skala dari bangun kecil ke bangun besar!
4. Manakah pernyataan yang benar? A. Volume berbanding lurus dengan $k$ B. Volume berbanding lurus dengan $k^2$ C. Volume berbanding lurus dengan $k^3$ D. Volume tidak dipengaruhi oleh $k$
5. Dua kubus sebangun memiliki panjang rusuk $5\text{ cm}$ dan $15\text{ cm}$. Tentukan rasio volume kubus besar terhadap kubus kecil!

Jawaban kunci:

1. Rasio $= k^3 = 4^3 = 64$.
2. Volume bayangan $= 3^3 \times 15 = 27 \times 15 = 405\text{ cm}^3$.
3. $k^3 = \frac{216}{27} = 8 \Rightarrow k = 2$.
4. C.
5. $k = \frac{15}{5} = 3$, sehingga rasio volume $= k^3 = 3^3 = 27$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.