B. Pengaruh Luas

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan hubungan antara faktor skala $k$ dan perubahan luas suatu bangun.
• Menurunkan alasan mengapa luas berubah sebanding dengan $k^2$, bukan $k$.
• Menghitung luas bayangan, luas asli, atau faktor skala jika salah satu besaran lain diketahui.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan perubahan luas akibat pembesaran atau pengecilan bangun.

Materi

1. Mengapa Luas Berubah Sebanding $k^2$

Luas suatu bangun datar dihitung dari perkalian dua besaran panjang, misalnya panjang $\times$ lebar pada persegi panjang, alas $\times$ tinggi pada segitiga dan jajar genjang, atau $r^2$ pada lingkaran. Jika bangun tersebut diperbesar/diperkecil dengan faktor skala $k$, maka setiap panjang yang menyusun luas tersebut ikut dikalikan $k$, sehingga:

$\text{Luas bayangan} = (k \times p) \times (k \times l) = k^2 \times (p \times l) = k^2 \times \text{Luas asli}$

Secara umum berlaku:

$\frac{\text{Luas bayangan}}{\text{Luas asli}} = k^2 \quad \text{atau} \quad L' = k^2 \times L$

2. Berlaku untuk Semua Bangun Datar Sebangun

Hubungan ini berlaku untuk semua bangun datar yang sebangun, apapun bentuknya, selama seluruh dimensinya berubah dengan faktor skala $k$ yang sama. Misalnya untuk lingkaran dengan jari-jari $r$ yang menjadi $kr$:

$L' = \pi (kr)^2 = k^2 \pi r^2 = k^2 \times L$

Karena $k^2$ selalu bernilai positif (baik $k$ positif maupun negatif), rasio luas selalu positif. Ini masuk akal karena luas suatu daerah tidak mungkin negatif.

3. Menentukan Faktor Skala dari Perbandingan Luas

Jika rasio luas dua bangun sebangun diketahui, faktor skala dapat dicari dengan akar kuadrat:

$k = \sqrt{\frac{\text{Luas bayangan}}{\text{Luas asli}}}$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Persegi panjang berukuran $6\text{ cm} \times 4\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $k = 3$. Tentukan luas asli, luas bayangan, dan buktikan bahwa rasio luasnya sama dengan $k^2$!

Penyelesaian: Luas asli $= 6 \times 4 = 24\text{ cm}^2$.

Ukuran bayangan: $18\text{ cm} \times 12\text{ cm}$, sehingga luas bayangan $= 18 \times 12 = 216\text{ cm}^2$.

Rasio luas $= \dfrac{216}{24} = 9 = 3^2 = k^2$. Terbukti sesuai.

Contoh 2 (Lingkaran): Sebuah taman berbentuk lingkaran berjari-jari $7\text{ m}$ akan dibuat miniaturnya dengan jari-jari $1{,}4\text{ m}$. Tentukan faktor skala $k$, lalu bandingkan luas taman asli dengan luas miniatur! ($\pi = \frac{22}{7}$)

Penyelesaian: $k = \frac{1{,}4}{7} = 0{,}2$

Luas taman asli: $L = \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 154\text{ m}^2$

Luas miniatur: $L' = k^2 \times L = 0{,}2^2 \times 154 = 0{,}04 \times 154 = \mathbf{6{,}16\text{ m}^2}$

Contoh 3 (Menentukan Faktor Skala dari Rasio Luas): Dua bangun sebangun memiliki luas $50\text{ cm}^2$ dan $200\text{ cm}^2$. Tentukan faktor skala $k$ dari bangun pertama ke bangun kedua!

Penyelesaian: $k^2 = \frac{200}{50} = 4$ $k = \sqrt{4} = \mathbf{2}$

Latihan Mandiri

1. Sebuah persegi dengan sisi $5\text{ cm}$ diperbesar dengan faktor skala $4$. Tentukan luas bayangannya!
2. Dua segitiga sebangun memiliki faktor skala $k = \frac{3}{2}$. Jika luas segitiga kecil $20\text{ cm}^2$, tentukan luas segitiga besar!
3. Sebuah foto dengan luas $96\text{ cm}^2$ dicetak ulang menjadi ukuran yang lebih kecil dengan luas $24\text{ cm}^2$. Tentukan faktor skala $k$ dari ukuran asli ke ukuran cetak baru!
4. Sebuah lingkaran berjari-jari $10\text{ cm}$ diperbesar sehingga luasnya menjadi $4$ kali luas semula. Tentukan jari-jari bayangannya!
5. Dua bangun sebangun memiliki sepasang sisi bersesuaian $8\text{ cm}$ dan $12\text{ cm}$. Jika luas bangun pertama $64\text{ cm}^2$, tentukan luas bangun kedua!
6. Benar atau salah, beserta alasannya: “Jika faktor skala $k = -3$, maka luas bayangan menjadi negatif tiga kali luas asli.”

Jawaban:

1. Luas asli $= 5^2 = 25\text{ cm}^2$. Luas bayangan $= 4^2 \times 25 = 16 \times 25 = \mathbf{400\text{ cm}^2}$.
2. Luas besar $= \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 20 = \frac{9}{4} \times 20 = \mathbf{45\text{ cm}^2}$.
3. $k^2 = \frac{24}{96} = 0{,}25$, sehingga $k = \sqrt{0{,}25} = \mathbf{0{,}5}$.
4. $k^2 = 4 \Rightarrow k = 2$. Jari-jari bayangan $= 2 \times 10 = \mathbf{20\text{ cm}}$.
5. $k = \frac{12}{8} = 1{,}5$. Luas kedua $= 1{,}5^2 \times 64 = 2{,}25 \times 64 = \mathbf{144\text{ cm}^2}$.
6. Salah. Rasio luas selalu sama dengan $k^2$, dan kuadrat dari bilangan negatif selalu positif: $(-3)^2 = 9$. Jadi luas bayangan menjadi $9$ kali luas asli, bukan negatif tiga kali. Luas suatu daerah tidak mungkin bernilai negatif.

Kuis Formatif

1. Jika $k = 5$, tentukan rasio luas bayangan terhadap luas asli!
2. Sebuah persegi panjang dengan luas $18\text{ cm}^2$ diperbesar dengan faktor skala $2$. Tentukan luas bayangannya!
3. Dua bangun sebangun memiliki luas $12\text{ cm}^2$ dan $108\text{ cm}^2$. Tentukan faktor skala dari bangun kecil ke bangun besar!
4. Manakah pernyataan yang benar? A. Luas berbanding lurus dengan $k$ B. Luas berbanding lurus dengan $k^2$ C. Luas berbanding lurus dengan $k^3$ D. Luas tidak dipengaruhi oleh $k$
5. Lingkaran berjari-jari $6\text{ cm}$ diperkecil dengan faktor skala $\frac{1}{3}$. Tentukan luas bayangannya dalam bentuk $\pi$!

Jawaban kunci:

1. Rasio $= k^2 = 5^2 = 25$.
2. Luas bayangan $= 2^2 \times 18 = 4 \times 18 = 72\text{ cm}^2$.
3. $k^2 = \frac{108}{12} = 9 \Rightarrow k = 3$.
4. B.
5. Luas asli $= \pi \times 6^2 = 36\pi\text{ cm}^2$. Luas bayangan $= \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 36\pi = \frac{1}{9} \times 36\pi = 4\pi\text{ cm}^2$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.