C. Pangkat Nol dan Pangkat Negatif

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan alasan mengapa $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$.
• Menjelaskan alasan mengapa $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ untuk $a \neq 0$.
• Mengubah bentuk pangkat negatif menjadi pecahan biasa, dan sebaliknya.
• Menyelesaikan soal hitung yang melibatkan pangkat nol dan pangkat negatif.

Materi

Pangkat Nol

Perhatikan pembagian bilangan berpangkat dengan basis sama dan pangkat sama, misalnya $2^3 \div 2^3$. Berdasarkan sifat pembagian pangkat sama basis $a^m \div a^n = a^{m-n}$, maka:

$2^3 \div 2^3 = 2^{3-3} = 2^0$

Padahal, bilangan apa pun (kecuali nol) dibagi dirinya sendiri pasti hasilnya $1$, yaitu $2^3 \div 2^3 = \dfrac{8}{8} = 1$. Karena kedua cara menghitung hal yang sama, maka:

$a^0 = 1, \quad a \neq 0$

Definisi ini berlaku untuk semua bilangan $a$ kecuali $0$, sebab $0^0$ tidak didefinisikan.

Pangkat Negatif

Perhatikan pola pangkat basis $3$ yang pangkatnya diturunkan satu per satu, di mana setiap turun satu pangkat nilainya dibagi $3$:

$3^2 = 9$ $3^1 = 3$ $3^0 = 1$ $3^{-1} = \frac{1}{3}$ $3^{-2} = \frac{1}{9}$

Pola ini juga bisa dijelaskan lewat sifat pembagian pangkat. Misalnya $3^1 \div 3^3 = 3^{1-3} = 3^{-2}$, padahal secara langsung $3^1 \div 3^3 = \dfrac{3}{27} = \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2}$. Karena kedua cara menghitung hal yang sama, diperoleh definisi pangkat negatif:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a \neq 0$

Dengan kata lain, pangkat negatif menunjukkan kebalikan (invers) dari bentuk pangkat positifnya.

Mengubah Bentuk

• Dari pangkat negatif ke pecahan biasa: balik basisnya menjadi penyebut, lalu ubah pangkat menjadi positif. Contoh: $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.
• Dari pecahan biasa ke pangkat negatif: jika bentuknya $\dfrac{1}{a^n}$, dapat ditulis sebagai $a^{-n}$. Contoh: $\dfrac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
• Jika basisnya sendiri berupa pecahan, berlaku $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$, karena membalik pangkat negatif sama dengan menukar posisi pembilang dan penyebut.

Contoh

Contoh 1: Tentukan nilai dari $7^0$ dan $(-15)^0$.

Berdasarkan definisi $a^0 = 1$ untuk $a \neq 0$, maka $7^0 = 1$ dan $(-15)^0 = 1$.

Contoh 2: Ubah $2^{-5}$ menjadi bentuk pecahan biasa.

$2^{-5} = \dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32}$

Contoh 3: Ubah $\dfrac{1}{3^4}$ menjadi bentuk pangkat negatif.

$\dfrac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Contoh 4: Hitung nilai dari $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$.

$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$

Latihan

1. Tentukan nilai dari $23^0$.
2. Ubah $4^{-3}$ menjadi bentuk pecahan biasa.
3. Ubah $\dfrac{1}{6^2}$ menjadi bentuk pangkat negatif.
4. Hitung nilai dari $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2}$.
5. Sederhanakan $2^{-3} \times 2^5$ menggunakan sifat perkalian pangkat, lalu nyatakan hasilnya sebagai bilangan biasa.
6. Hitung nilai dari $10^{-2} \times 10^0$.

Jawab:

1. $23^0 = 1$
2. $4^{-3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}$
3. $\dfrac{1}{6^2} = 6^{-2}$
4. $\left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{1}\right)^2 = 25$
5. $2^{-3} \times 2^5 = 2^{-3+5} = 2^2 = 4$
6. $10^{-2} \times 10^0 = 10^{-2} \times 1 = \dfrac{1}{100}$

Kuis Formatif

1. Tentukan nilai dari $99^0$.
2. Ubah $5^{-3}$ menjadi bentuk pecahan biasa.
3. Ubah $\dfrac{1}{8^2}$ menjadi bentuk pangkat negatif.
4. Hitung nilai dari $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1}$.
5. Mengapa $0^0$ tidak didefinisikan sebagai $1$ seperti bilangan lainnya? Jelaskan berdasarkan konsep pembagian yang mendasari $a^0 = 1$.

Jawaban kunci:

1. $99^0 = 1$
2. $5^{-3} = \dfrac{1}{125}$
3. $\dfrac{1}{8^2} = 8^{-2}$
4. $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3}$
5. Karena $a^0 = 1$ diturunkan dari $a^n \div a^n = 1$, sedangkan $0^n \div 0^n$ berarti membagi nol dengan nol, dan pembagian dengan nol tidak terdefinisi dalam matematika.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.