B. Sifat Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menyebutkan dan menjelaskan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat.
• Membuktikan setiap sifat menggunakan penjabaran perkalian berulang.
• Menerapkan sifat-sifat bilangan berpangkat untuk menyederhanakan bentuk perpangkatan.
• Menyelesaikan soal yang melibatkan kombinasi beberapa sifat sekaligus.

Materi

Bilangan berpangkat memiliki beberapa sifat operasi yang memudahkan perhitungan tanpa harus menjabarkan perkalian berulang secara penuh. Berikut lima sifat utama beserta penjelasannya.

1. Perkalian Pangkat dengan Basis Sama

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Alasan: $a^m \times a^n = (\underbrace{a \times \ldots \times a}_{m}) \times (\underbrace{a \times \ldots \times a}_{n}) = \underbrace{a \times \ldots \times a}_{m+n} = a^{m+n}$.

Contoh: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

2. Pembagian Pangkat dengan Basis Sama

$a^m \div a^n = a^{m-n}, \quad a \neq 0$

Alasan: $a^m \div a^n$ berarti $\dfrac{\overbrace{a \times \ldots \times a}^{m}}{\underbrace{a \times \ldots \times a}_{n}}$. Sebanyak $n$ faktor $a$ pada pembilang saling coret dengan penyebut, sehingga tersisa $m - n$ faktor $a$.

Contoh: $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$.

3. Pangkat dari Pangkat

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

Alasan: $(a^m)^n$ berarti $a^m$ dikalikan sebanyak $n$ kali, yaitu $\underbrace{a^m \times a^m \times \ldots \times a^m}_{n} = a^{m+m+\ldots+m} = a^{m \times n}$ (menggunakan sifat 1).

Contoh: $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$.

4. Pangkat dari Perkalian

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

Alasan: $(a \times b)^n = \underbrace{(a \times b) \times (a \times b) \times \ldots \times (a \times b)}_{n}$. Karena perkalian bersifat komutatif dan asosiatif, seluruh faktor $a$ dapat dikumpulkan menjadi $a^n$ dan seluruh faktor $b$ menjadi $b^n$.

Contoh: $(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$.

5. Pangkat dari Pembagian

$(a \div b)^n = a^n \div b^n, \quad b \neq 0$

Alasan: sama seperti sifat 4, karena $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{a}{b} \times \ldots \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times a \times \ldots \times a}{b \times b \times \ldots \times b} = \dfrac{a^n}{b^n}$.

Contoh: $(10 \div 2)^3 = 10^3 \div 2^3$.

Contoh

Contoh 1: Sederhanakan $4^3 \times 4^5$.

$4^3 \times 4^5 = 4^{3+5} = 4^8$

Contoh 2: Sederhanakan $\dfrac{6^7}{6^3}$.

$\dfrac{6^7}{6^3} = 6^{7-3} = 6^4$

Contoh 3: Sederhanakan $(2^3)^2 \times 2^4$.

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$ $2^6 \times 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$

Contoh 4: Hitung $(3 \times 4)^2$ dengan dua cara untuk membuktikan sifat pangkat dari perkalian.

Cara langsung: $(3 \times 4)^2 = 12^2 = 144$ Cara sifat: $3^2 \times 4^2 = 9 \times 16 = 144$

Kedua cara menghasilkan nilai yang sama, sehingga sifat $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ terbukti.

Latihan

1. Sederhanakan $5^2 \times 5^6$.
2. Sederhanakan $\dfrac{7^9}{7^4}$.
3. Sederhanakan $(2^4)^3$.
4. Sederhanakan $(3 \times 2)^4$ menggunakan sifat pangkat dari perkalian.
5. Sederhanakan $\left(\dfrac{10}{5}\right)^3$ menggunakan sifat pangkat dari pembagian.
6. Sederhanakan $\dfrac{(3^2)^3 \times 3^4}{3^5}$.

Jawab:

1. $5^2 \times 5^6 = 5^{2+6} = 5^8$
2. $\dfrac{7^9}{7^4} = 7^{9-4} = 7^5$
3. $(2^4)^3 = 2^{4 \times 3} = 2^{12}$
4. $(3 \times 2)^4 = 3^4 \times 2^4$
5. $\left(\dfrac{10}{5}\right)^3 = \dfrac{10^3}{5^3} = 2^3 = 8$
6. $(3^2)^3 = 3^6$, sehingga $\dfrac{3^6 \times 3^4}{3^5} = \dfrac{3^{10}}{3^5} = 3^5$

Kuis Formatif

1. Sederhanakan $8^3 \times 8^2$.
2. Sederhanakan $\dfrac{9^5}{9^2}$.
3. Sederhanakan $(5^2)^3$.
4. Sederhanakan $(6 \times 3)^2$ menjadi bentuk perkalian dua pangkat.
5. Sederhanakan $\dfrac{4^7}{(4^2)^2}$.

Jawaban kunci:

1. $8^{3+2} = 8^5$
2. $9^{5-2} = 9^3$
3. $5^{2 \times 3} = 5^6$
4. $6^2 \times 3^2$
5. $(4^2)^2 = 4^4$, sehingga $\dfrac{4^7}{4^4} = 4^{7-4} = 4^3$

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.