A. Pengertian dan Notasi Bilangan Berpangkat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengertian bilangan berpangkat sebagai bentuk singkat dari perkalian berulang.
• Menyebutkan dan membedakan istilah basis (bilangan pokok) dan pangkat (eksponen) dalam suatu notasi $a^n$.
• Mengubah bentuk perkalian berulang menjadi notasi berpangkat, dan sebaliknya.
• Menentukan tanda hasil perpangkatan untuk basis negatif dan basis pecahan.

Materi

Pengertian Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah cara singkat untuk menuliskan perkalian berulang suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Secara umum, untuk bilangan $a$ dan bilangan asli $n$ berlaku:

$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ faktor}}$

Bentuk $a^n$ dibaca “$a$ pangkat $n$” atau “$a$ berpangkat $n$”.

Basis dan Eksponen

Pada notasi $a^n$:

• $a$ disebut basis atau bilangan pokok, yaitu bilangan yang dikalikan berulang.
• $n$ disebut pangkat atau eksponen, yaitu banyaknya faktor $a$ yang dikalikan.

Misalnya pada $5^3$, basisnya adalah $5$ dan pangkatnya adalah $3$, artinya $5 \times 5 \times 5$.

Bilangan Berpangkat dengan Basis Negatif

Jika basisnya negatif, tanda hasil ditentukan oleh pangkatnya:

• Jika pangkatnya genap, hasilnya positif, karena tanda negatif saling mengalikan berpasangan menjadi positif.
• Jika pangkatnya ganjil, hasilnya negatif, karena masih tersisa satu faktor negatif yang tidak berpasangan.

Contoh: $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ (positif, pangkat genap), sedangkan $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$ (negatif, pangkat ganjil).

Perlu diperhatikan perbedaan penulisan $(-2)^2$ dengan $-2^2$. Pada $(-2)^2$, seluruh $-2$ menjadi basis sehingga hasilnya $4$. Pada $-2^2$, yang dipangkatkan hanya $2$, lalu hasilnya diberi tanda negatif, sehingga $-2^2 = -(2^2) = -4$.

Bilangan Berpangkat dengan Basis Pecahan

Aturan yang sama berlaku untuk basis berupa pecahan. Setiap bagian pecahan (pembilang dan penyebut) dipangkatkan secara terpisah:

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad b \neq 0$

Contoh: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Contoh

Contoh 1: Ubah bentuk perkalian berulang $7 \times 7 \times 7 \times 7$ menjadi notasi berpangkat, lalu hitung hasilnya.

Terdapat 4 faktor $7$, sehingga $7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^4$. $7^4 = 49 \times 49 = 2.401$

Contoh 2: Tentukan basis dan pangkat dari $(-3)^5$, lalu hitung hasilnya.

Basis $= -3$, pangkat $= 5$ (ganjil, sehingga hasil negatif). $(-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = -243$

Contoh 3: Hitung nilai dari $(-4)^2$ dan $-4^2$, lalu bandingkan.

$(-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16$ $-4^2 = -(4 \times 4) = -16$

Meskipun angkanya sama, hasilnya berbeda karena letak tanda kurung menentukan apa yang menjadi basis.

Contoh 4: Hitung nilai dari $\left(\frac{1}{2}\right)^4$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Latihan

1. Tuliskan $6 \times 6 \times 6$ dalam notasi berpangkat, kemudian hitung nilainya.
2. Tentukan basis dan pangkat dari $9^7$.
3. Hitunglah nilai dari $(-5)^3$.
4. Hitunglah nilai dari $(-2)^6$.
5. Hitunglah nilai dari $\left(\frac{3}{4}\right)^2$.
6. Jelaskan mengapa $(-1)^{10} = 1$ tetapi $(-1)^{11} = -1$.

Jawab:

1. $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$
2. Basis $= 9$, pangkat $= 7$.
3. $(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125$
4. $(-2)^6 = 64$ (pangkat genap, hasil positif)
5. $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$
6. Pangkat $10$ genap sehingga sepuluh faktor $-1$ berpasangan habis menjadi positif, hasilnya $1$. Pangkat $11$ ganjil sehingga masih tersisa satu faktor $-1$ yang tidak berpasangan, hasilnya $-1$.

Kuis Formatif

1. Nyatakan $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4$ dalam notasi berpangkat.
2. Apa basis dan pangkat dari $(-10)^3$?
3. Hitunglah nilai dari $(-3)^4$.
4. Apakah hasil dari $-6^2$ sama dengan $(-6)^2$? Jelaskan.
5. Hitunglah nilai dari $\left(\frac{1}{5}\right)^3$.

Jawaban kunci:

1. $4^5$
2. Basis $= -10$, pangkat $= 3$.
3. $(-3)^4 = 81$
4. Tidak sama. $-6^2 = -36$ karena hanya $6$ yang dipangkatkan lalu diberi tanda negatif, sedangkan $(-6)^2 = 36$ karena seluruh $-6$ menjadi basis.
5. $\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125}$

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.