D. Penerapan Bilangan Berpangkat

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan penerapan bilangan berpangkat dalam konteks pertumbuhan dan peluruhan sederhana.
• Menghitung luas dan volume bangun menggunakan notasi berpangkat.
• Menyelesaikan soal cerita dengan menerapkan sifat-sifat bilangan berpangkat.

Materi

Bilangan berpangkat banyak digunakan untuk memodelkan situasi nyata yang melibatkan perkalian berulang, seperti pertumbuhan makhluk hidup, peluruhan zat, dan perhitungan luas atau volume bangun ruang.

Pertumbuhan Berganda

Jika suatu jumlah mula-mula $A_0$ bertambah menjadi $k$ kali lipat setiap periode tertentu, maka setelah $n$ periode jumlahnya menjadi:

$A_n = A_0 \times k^n$

Contoh penerapan: pertumbuhan bakteri yang membelah diri menjadi dua setiap periode tertentu menggunakan $k = 2$.

Peluruhan Sederhana

Jika suatu jumlah mula-mula $A_0$ berkurang menjadi sebagian (misalnya tersisa $\dfrac{1}{k}$ bagian) setiap periode tertentu, maka setelah $n$ periode jumlahnya menjadi:

$A_n = A_0 \times \left(\frac{1}{k}\right)^n$

Contoh penerapan: peluruhan jumlah obat dalam tubuh, atau berkurangnya intensitas cahaya setiap melewati suatu lapisan.

Luas dan Volume

Luas persegi dengan sisi $s$ dinyatakan sebagai $s^2$ (pangkat dua), sedangkan volume kubus dengan rusuk $r$ dinyatakan sebagai $r^3$ (pangkat tiga). Bentuk pangkat inilah alasan istilah “kuadrat” untuk pangkat dua dan “kubik” untuk pangkat tiga.

$L_{\text{persegi}} = s^2 \qquad V_{\text{kubus}} = r^3$

Strategi Menyelesaikan Soal Cerita

1. Identifikasi nilai awal, faktor pengali (basis), dan banyak periode (pangkat).
2. Tentukan apakah situasinya pertumbuhan (basis $> 1$) atau peluruhan (basis $< 1$).
3. Susun model $A_n = A_0 \times k^n$, lalu hitung menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat.
4. Periksa kembali kewajaran hasil terhadap konteks soal.

Contoh

Contoh 1 (Pertumbuhan bakteri): Sejenis bakteri membelah diri menjadi dua setiap 20 menit. Jika mula-mula ada $5$ bakteri, berapa banyak bakteri setelah 3 kali pembelahan (60 menit)?

$A_3 = A_0 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$ bakteri

Contoh 2 (Volume kubus): Sebuah kotak kado berbentuk kubus memiliki panjang rusuk $6\text{ cm}$. Berapa volume kotak tersebut?

$V = r^3 = 6^3 = 216\text{ cm}^3$

Contoh 3 (Peluruhan sederhana): Sebuah bola dijatuhkan dan setiap kali memantul, tingginya menjadi setengah dari tinggi sebelumnya. Jika tinggi awal $80\text{ cm}$, berapa tinggi pantulan setelah pantulan ke-3?

$A_3 = 80 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 80 \times \dfrac{1}{8} = 10\text{ cm}$

Contoh 4 (Luas persegi): Sebuah taman berbentuk persegi memiliki sisi $12\text{ meter}$. Berapa luas taman tersebut?

$L = s^2 = 12^2 = 144\text{ m}^2$

Latihan

1. Sejenis virus menggandakan diri menjadi tiga kali lipat setiap 1 jam. Jika mula-mula ada $2$ virus, berapa banyak virus setelah 4 jam?
2. Sebuah akuarium berbentuk kubus memiliki panjang rusuk $30\text{ cm}$. Berapa volume air maksimal yang dapat ditampung?
3. Sehelai kertas dilipat menjadi dua berulang kali sehingga tebalnya berlipat ganda setiap lipatan. Jika tebal awal kertas $0{,}1\text{ mm}$, berapa tebalnya setelah 5 kali lipatan?
4. Nilai investasi berkurang menjadi setengahnya setiap tahun akibat depresiasi. Jika nilai awal Rp$8.000.000$, berapa nilainya setelah 3 tahun?
5. Sebuah lapangan berbentuk persegi memiliki luas $225\text{ m}^2$. Berapa panjang sisi lapangan tersebut?
6. Populasi kelinci di sebuah peternakan menjadi dua kali lipat setiap 2 bulan. Jika mula-mula ada $6$ ekor, berapa banyak kelinci setelah 6 bulan (3 periode)?

Jawab:

1. $A_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$ virus
2. $V = 30^3 = 27.000\text{ cm}^3$
3. $A_5 = 0{,}1 \times 2^5 = 0{,}1 \times 32 = 3{,}2\text{ mm}$
4. $A_3 = 8.000.000 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = 8.000.000 \times \dfrac{1}{8} = \text{Rp}1.000.000$
5. Karena $L = s^2 = 225$, maka $s = \sqrt{225} = 15\text{ m}$
6. $A_3 = 6 \times 2^3 = 6 \times 8 = 48$ ekor

Kuis Formatif

1. Sejenis bakteri menjadi dua kali lipat setiap 30 menit. Jika mula-mula ada $10$ bakteri, berapa banyak bakteri setelah 2 jam (4 periode)?
2. Sebuah dadu berbentuk kubus memiliki rusuk $2\text{ cm}$. Berapa volume dadu tersebut?
3. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya setiap 1 tahun. Jika massa awal $160\text{ gram}$, berapa massanya setelah 4 tahun?
4. Sebuah kebun berbentuk persegi memiliki sisi $9\text{ meter}$. Berapa luas kebun tersebut?
5. Mengapa model pertumbuhan berganda menggunakan bentuk $A_0 \times k^n$ dan bukan $A_0 \times k \times n$? Jelaskan dengan konsep perkalian berulang.

Jawaban kunci:

1. $A_4 = 10 \times 2^4 = 160$ bakteri
2. $V = 2^3 = 8\text{ cm}^3$
3. $A_4 = 160 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 160 \times \dfrac{1}{16} = 10\text{ gram}$
4. $L = 9^2 = 81\text{ m}^2$
5. Karena setiap periode jumlahnya dikalikan $k$ (bukan ditambah), maka setelah $n$ periode faktor $k$ dikalikan berulang sebanyak $n$ kali, yaitu $k \times k \times \ldots \times k$ ($n$ faktor), yang sama dengan $k^n$, bukan $k \times n$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.