E. Penerapan Aljabar

Harga es teh Rp5.000 per gelas. Kalau terjual 12 gelas, pendapatannya Rp60.000. Kalau terjual 30 gelas? Daripada menghitung ulang setiap kali, kita bisa menulis satu rumus untuk semua kemungkinan: pendapatan = $5.000x$, dengan $x$ adalah banyak gelas. Inilah kekuatan aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

Yang akan kamu pelajari

• Mengubah situasi sehari-hari menjadi bentuk aljabar.
• Menghitung nilai bentuk aljabar dengan substitusi.
• Menyatakan keliling dan luas bangun dengan bentuk aljabar.
• Menemukan rumus suku ke-$n$ dari pola bilangan.

Langkah membuat model aljabar

1. Tentukan besaran yang belum diketahui, lalu misalkan dengan sebuah variabel, misalnya $x$.
2. Terjemahkan kalimat dalam soal menjadi bentuk aljabar.
3. Sederhanakan bentuknya kalau bisa.
4. Substitusikan nilai yang diketahui untuk menjawab pertanyaan.

Keliling dan luas dalam bentuk aljabar

Kalau sisinya berupa bentuk aljabar, keliling dan luasnya juga berupa bentuk aljabar. Contohnya, persegi dengan sisi $(x + 3)$ memiliki luas $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

Pola bilangan dengan aljabar

Kalau sebuah barisan bilangan selalu bertambah dengan beda yang sama, misalnya $b$, rumus suku ke-$n$ bisa ditulis:

$U_n = bn + c$

Nilai $c$ dicari dari suku pertama. Contohnya, barisan $3, 7, 11, 15, \ldots$ bertambah 4 setiap kali, jadi $b = 4$. Suku pertama ($n = 1$) adalah 3, sehingga $4(1) + c = 3$ dan $c = -1$. Rumusnya $U_n = 4n - 1$.

Kesalahan yang sering terjadi: salah menerjemahkan kalimat “sisa uang”. Kalau kamu membayar Rp200.000 untuk $x$ buku seharga Rp15.000, sisa uangnya adalah $200.000 - 15.000x$, bukan $15.000x - 200.000$. Uang yang dibayar dikurangi harga belanjaan.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Keliling persegi panjang adalah $2(p + l)$. Berapa kelilingnya jika $p = 8$ cm dan $l = 5$ cm?

$2(8 + 5) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$

Contoh 2. Sebuah taman berbentuk persegi dengan sisi $(x + 2)$ meter. Nyatakan luasnya dalam bentuk aljabar, lalu hitung luasnya jika $x = 5$.

• Luas: $(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$.
• Untuk $x = 5$: $25 + 20 + 4 = 49 \text{ m}^2$. Cek cepat: sisinya $5 + 2 = 7$ m, dan $7^2 = 49$. Cocok!

Contoh 3. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari barisan $5, 9, 13, 17, \ldots$, lalu hitung suku ke-10.

• Bedanya 4, jadi $U_n = 4n + c$.
• Suku pertama: $4(1) + c = 5$, sehingga $c = 1$. Rumusnya $U_n = 4n + 1$.
• Suku ke-10: $U_{10} = 4(10) + 1 = 41$.

Ayo berlatih

1. Buku seharga Rp15.000 per buah. Kamu membeli $x$ buku dan membayar Rp200.000. Tulis bentuk aljabar untuk sisa uangmu.
2. Hitung nilai $3x^2 - 2x + 5$ jika $x = 4$.
3. Sebuah persegi panjang memiliki panjang $(x + 4)$ cm dan lebar $x$ cm. Tulis bentuk aljabar kelilingnya.
4. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari barisan $2, 6, 10, 14, \ldots$
5. Sebuah persegi bersisi $(x + 1)$ cm. Tulis bentuk aljabar luasnya.
6. Jus dijual Rp8.000 per gelas, dan biaya bahannya Rp30.000 per hari. Tulis bentuk aljabar keuntungan jika terjual $x$ gelas.

Cek pemahamanmu

1. Persegi panjang memiliki panjang $(x + 6)$ cm dan lebar $x$ cm. Tulis bentuk aljabar luasnya.
2. Hitung keliling persegi panjang pada soal nomor 1 jika $x = 7$.
3. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari barisan $4, 8, 12, 16, \ldots$
4. Roti dijual Rp12.000 per buah, dan biaya produksinya Rp50.000 per hari. Tulis bentuk aljabar keuntungannya, lalu hitung keuntungan jika terjual 20 roti.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.