C. Pola Susunan Benda

Pernah melihat bola biliar disusun membentuk segitiga sebelum permainan dimulai? Atau kaleng-kaleng di supermarket yang ditumpuk rapi? Banyaknya benda dalam susunan seperti itu membentuk pola bilangan yang istimewa, misalnya bilangan segitiga dan bilangan persegi.

Yang akan kamu pelajari

• Mengenal bilangan segitiga, persegi, dan persegi panjang.
• Memakai rumus untuk menghitung banyak benda pada susunan ke-$n$.
• Menemukan hubungan antara bilangan segitiga dan bilangan persegi.

Bilangan segitiga

Benda disusun bertingkat membentuk segitiga: tingkat pertama 1 benda, tingkat kedua 2 benda, dan seterusnya. Banyak benda seluruhnya membentuk barisan $1, 3, 6, 10, 15, \ldots$

$T_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

Bilangan persegi

Benda disusun membentuk persegi berukuran $n \times n$, sehingga banyaknya $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$

$P_n = n^2$

Bilangan persegi panjang

Benda disusun membentuk persegi panjang berukuran $n \times (n + 1)$, sehingga banyaknya $2, 6, 12, 20, \ldots$

$R_n = n(n + 1)$

Perhatikan bahwa bilangan persegi panjang adalah dua kali bilangan segitiga: $R_n = 2T_n$.

Hubungan segitiga dan persegi

Dua bilangan segitiga yang berurutan, kalau dijumlahkan, selalu menghasilkan bilangan persegi:

$T_n + T_{n - 1} = n^2$

Contohnya, $T_3 + T_2 = 6 + 3 = 9 = 3^2$. Kalau digambar, dua susunan segitiga yang bersebelahan memang bisa digabung menjadi sebuah persegi!

Kesalahan yang sering terjadi: menganggap bilangan segitiga bertambah dengan beda yang tetap. Selisihnya justru terus bertambah: $1 \to 3$ (tambah 2), $3 \to 6$ (tambah 3), $6 \to 10$ (tambah 4). Karena itu, gunakan rumus $\frac{n(n + 1)}{2}$, bukan rumus barisan aritmetika.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Bola disusun membentuk segitiga sampai 7 tingkat. Berapa banyak bola seluruhnya?

$T_7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28 \text{ bola}$

Contoh 2. Kotak disusun membentuk persegi 5 × 5. Berapa banyak kotaknya?

$P_5 = 5^2 = 25 \text{ kotak}$

Contoh 3. Tunjukkan bahwa $T_5 + T_4 = 5^2$.

$T_4 = \frac{4 \times 5}{2} = 10$ dan $T_5 = \frac{5 \times 6}{2} = 15$. Jumlahnya $15 + 10 = 25 = 5^2$. Terbukti!

Ayo berlatih

1. Susunan benda $2, 5, 8, 11, \ldots$ Berapa suku ke-6?
2. Susunan benda $1, 4, 9, 16, \ldots$ Berapa suku ke-6?
3. Berapa banyak benda pada susunan segitiga tingkat ke-9?
4. Berapa bilangan persegi panjang ke-6?
5. Tunjukkan bahwa $T_6 + T_5 = 6^2$.
6. Berapa banyak kotak pada susunan persegi ke-12?

Cek pemahamanmu

1. Berapa bilangan segitiga ke-10?
2. Berapa bilangan persegi ke-9?
3. Berapa bilangan persegi panjang ke-7?
4. Apa bedanya cara menyusun benda pada bilangan segitiga dan bilangan persegi?

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.