D. Rumus Suku ke-n

Berapa suku ke-100 dari barisan $2, 5, 8, 11, \ldots$? Kamu bisa saja menambahkan 3 sebanyak 99 kali, tetapi itu melelahkan dan mudah salah. Dengan rumus suku ke-$n$, jawabannya bisa ditemukan dalam satu langkah.

Yang akan kamu pelajari

• Memahami rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika.
• Mencari suku ke berapa pun dengan rumus.
• Membaca beda dan suku pertama dari sebuah rumus.
• Mencari letak sebuah bilangan dalam barisan.

Rumusnya

$U_n = a + (n - 1)b$

dengan $U_n$ suku ke-$n$, $a$ suku pertama, $b$ beda, dan $n$ nomor suku.

Mengapa $(n - 1)$? Dari suku pertama ke suku ke-$n$, kita melompat sebanyak $(n - 1)$ kali, dan setiap lompatan menambah $b$. Misalnya, dari suku ke-1 ke suku ke-5 ada 4 lompatan.

Membaca rumus yang sudah jadi

Rumus suku ke-$n$ sering ditulis lebih ringkas, misalnya $U_n = 5n - 2$. Dari bentuk $U_n = pn + q$:

• Beda sama dengan koefisien $n$, yaitu $b = p$.
• Suku pertama didapat dengan memasukkan $n = 1$, yaitu $a = p + q$.

Untuk $U_n = 5n - 2$, bedanya 5 dan suku pertamanya $5(1) - 2 = 3$.

Mencari letak sebuah bilangan

Kalau ingin tahu suatu bilangan berada di suku ke berapa, samakan rumusnya dengan bilangan itu, lalu selesaikan untuk $n$. Contohnya, pada $U_n = 3n + 1$, bilangan 100 berada di suku ke-$n$ dengan $3n + 1 = 100$, sehingga $n = 33$.

Kesalahan yang sering terjadi: menulis $U_n = a + nb$ tanpa dikurangi satu. Coba cek dengan $n = 1$: hasilnya harus sama dengan suku pertama. Pada $2, 5, 8, \ldots$, rumus $2 + n \times 3$ memberikan 5 untuk $n = 1$, padahal suku pertamanya 2. Jadi rumus itu salah.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari $3, 6, 9, 12, \ldots$

$a = 3$ dan $b = 3$, jadi $U_n = 3 + (n - 1) \times 3 = 3n$.

Contoh 2. Tentukan suku ke-10 dari $2, 5, 8, 11, \ldots$

$U_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 27 = 29$

Contoh 3. Rumus suku ke-$n$ sebuah barisan adalah $U_n = 4n - 1$. Berapa beda dan suku pertamanya?

Bedanya 4, dan suku pertamanya $4(1) - 1 = 3$. Barisannya $3, 7, 11, 15, \ldots$

Contoh 4. Pada barisan $U_n = 6n - 4$, bilangan 50 adalah suku ke berapa?

$6n - 4 = 50 \quad\Rightarrow\quad 6n = 54 \quad\Rightarrow\quad n = 9$

Bilangan 50 adalah suku ke-9.

Ayo berlatih

1. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari $4, 7, 10, 13, \ldots$
2. Tentukan suku ke-8 dari $5, 9, 13, 17, \ldots$
3. Berapa beda dan suku pertama dari $U_n = 5n - 3$?
4. Pada barisan $U_n = 2n + 5$, bilangan 27 adalah suku ke berapa?
5. Sebuah barisan aritmetika memiliki $a = 9$ dan $b = -2$. Tentukan rumus suku ke-$n$ dan suku ke-15.
6. Pada barisan $7, 12, 17, 22, \ldots$, bilangan 102 adalah suku ke berapa?

Cek pemahamanmu

1. Tentukan rumus suku ke-$n$ dari $6, 10, 14, 18, \ldots$
2. Berapa suku ke-12 dari barisan nomor 1?
3. Berapa beda dan suku pertama dari $U_n = 7n - 5$?
4. Pada barisan $U_n = 3n + 2$, bilangan 47 adalah suku ke berapa?

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.