Faktorisasi Prima, KPK, dan FPB – Bilangan Bulat Kelas VII

Dua lampu hias berkedip bersamaan. Lampu pertama berkedip setiap 8 detik, lampu kedua setiap 12 detik. Kapan keduanya berkedip bersamaan lagi? Lalu, kalau Bu Ani punya 30 permen dan 45 cokelat, paling banyak berapa anak yang bisa mendapat bagian sama rata? Dua pertanyaan ini dijawab dengan KPK dan FPB.

Yang akan kamu pelajari

Menuliskan faktorisasi prima suatu bilangan.
Menentukan KPK dan FPB dari dua atau tiga bilangan.
Memilih kapan memakai KPK dan kapan memakai FPB dalam soal cerita.

Faktorisasi prima

Faktorisasi prima berarti menuliskan sebuah bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Ingat, bilangan prima adalah bilangan yang hanya punya dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri: $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$

Cara yang paling mudah adalah dengan pohon faktor. Bagi bilangannya dengan bilangan prima terkecil yang bisa membaginya, lalu ulangi sampai semua cabangnya berupa bilangan prima.

Contohnya untuk 24:

$24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^{3} \times 3$

FPB: faktor bersama yang paling besar

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) adalah bilangan terbesar yang bisa membagi habis semua bilangan yang diberikan.

Cara mencarinya:

Tuliskan faktorisasi prima setiap bilangan.
Ambil faktor prima yang muncul di semua bilangan, dengan pangkat terkecil.
Kalikan faktor-faktor itu.

Contohnya, FPB dari 18 dan 24:

$18 = 2 \times 3^{2}$
$24 = 2^{3} \times 3$
Faktor yang sama adalah 2 dan 3. Pangkat terkecilnya $2^{1}$ dan $3^{1}$ , jadi FPB $= 2 \times 3 = 6$ .

KPK: kelipatan bersama yang paling kecil

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari semua bilangan yang diberikan.

Cara mencarinya:

Tuliskan faktorisasi prima setiap bilangan.
Ambil semua faktor prima yang muncul, dengan pangkat terbesar.
Kalikan faktor-faktor itu.

Contohnya, KPK dari 12 dan 18:

$12 = 2^{2} \times 3$
$18 = 2 \times 3^{2}$
Pangkat terbesarnya $2^{2}$ dan $3^{2}$ , jadi KPK $= 4 \times 9 = 36$ .

Visualisasi FPB dan KPK dengan Diagram Venn — Gambar 5: FPB diambil dari faktor yang sama (irisan), KPK dari gabungan semua faktor.

Hubungan KPK dan FPB

Untuk dua bilangan $a$ dan $b$ , selalu berlaku:

$\text{KPK}(a, b) \times \text{FPB}(a, b) = a \times b$

Coba cek dengan 12 dan 18: $36 \times 6 = 216$ , dan $12 \times 18 = 216$ . Cocok! Rumus ini berguna kalau salah satu dari KPK atau FPB sudah diketahui.

KPK atau FPB? Lihat kata kuncinya

Bagian yang paling sering membingungkan adalah memilih antara KPK dan FPB. Panduan ini bisa membantu:

Pakai KPK kalau soalnya tentang…	Pakai FPB kalau soalnya tentang…
kejadian yang berulang dan bertemu lagi	membagi benda menjadi kelompok sama banyak
“bersamaan lagi”, “serentak lagi”	“paling banyak”, “sebanyak-banyaknya”
contoh: jadwal bus, lampu berkedip, piket	contoh: membagi permen, menyusun barisan

Kesalahan yang sering terjadi: memakai KPK untuk soal membagi benda. Hasil KPK selalu lebih besar atau sama dengan bilangan-bilangannya, jadi tidak mungkin dipakai untuk membagi benda menjadi bagian yang lebih kecil.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Dua lampu berkedip bersamaan, masing-masing setiap 8 detik dan 12 detik. Setelah berapa detik keduanya berkedip bersamaan lagi?

Soal ini tentang kejadian berulang yang bertemu lagi, jadi pakai KPK.

$8 = 2^{3}$ dan $12 = 2^{2} \times 3$ .
KPK $= 2^{3} \times 3 = 24$ .

Keduanya berkedip bersamaan lagi setelah 24 detik.

Contoh 2. Bu Ani punya 30 permen dan 45 cokelat. Ia ingin membagikan semuanya kepada beberapa anak, sehingga setiap anak mendapat permen dan cokelat dalam jumlah yang sama tanpa sisa. Paling banyak berapa anak yang bisa mendapat bagian?

Soal ini tentang membagi sama rata, jadi pakai FPB.

$30 = 2 \times 3 \times 5$ dan $45 = 3^{2} \times 5$ .
FPB $= 3 \times 5 = 15$ .

Paling banyak 15 anak. Setiap anak mendapat $30 \div 15 = 2$ permen dan $45 \div 15 = 3$ cokelat.

Ayo berlatih

Tuliskan faktorisasi prima dari 36.
Tentukan FPB dari 20 dan 30.
Tentukan KPK dari 9 dan 12.
Ada 24 siswa putra dan 36 siswa putri. Mereka akan dibagi menjadi beberapa kelompok, dan setiap kelompok berisi jumlah putra yang sama dan jumlah putri yang sama. Paling banyak berapa kelompok yang bisa dibentuk?
KPK dua bilangan adalah 60 dan FPB-nya 4. Jika salah satu bilangannya 20, berapa bilangan yang lain?
Bus A berangkat setiap 15 menit, bus B setiap 20 menit, dan bus C setiap 30 menit. Ketiganya berangkat bersamaan pukul 06.00. Pukul berapa mereka berangkat bersamaan lagi?

Lihat jawaban

$36 = 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 9 = 2^{2} \times 3^{2}$ .
$20 = 2^{2} \times 5$ dan $30 = 2 \times 3 \times 5$ . FPB $= 2 \times 5 = 10$ .
$9 = 3^{2}$ dan $12 = 2^{2} \times 3$ . KPK $= 2^{2} \times 3^{2} = 36$ .
Soal membagi kelompok, jadi pakai FPB. FPB dari 24 dan 36 adalah 12. Paling banyak 12 kelompok, masing-masing berisi 2 putra dan 3 putri.
$\text{KPK} \times \text{FPB} = a \times b$ , jadi $60 \times 4 = 20 \times b$ . Maka $b = 240 \div 20 = 12$ .
KPK dari 15, 20, dan 30 adalah 60 menit, atau 1 jam. Mereka berangkat bersamaan lagi pukul 07.00.

Cek pemahamanmu

Tuliskan faktorisasi prima dari 50.
Berapa FPB dari 16 dan 40?
Berapa KPK dari 6, 8, dan 10?
KPK dua bilangan adalah 72 dan FPB-nya 6. Jika salah satu bilangannya 18, berapa bilangan yang lain?
Mengapa FPB dua bilangan tidak mungkin lebih besar daripada bilangan yang terkecil?

Lihat kunci jawaban

$50 = 2 \times 5^{2}$ .
$16 = 2^{4}$ dan $40 = 2^{3} \times 5$ , jadi FPB $= 2^{3} = 8$ .
$6 = 2 \times 3$ , $8 = 2^{3}$ , dan $10 = 2 \times 5$ , jadi KPK $= 2^{3} \times 3 \times 5 = 120$ .
$b = \dfrac{72 \times 6}{18} = \dfrac{432}{18} = 24$ .
FPB adalah faktor dari setiap bilangan, termasuk dari bilangan yang terkecil. Faktor suatu bilangan tidak pernah lebih besar daripada bilangan itu sendiri.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.

E. Faktorisasi Prima, KPK, dan FPB