Lewati ke konten
MGMP Matematika SMPKabupaten Lampung Tengah
Kelas VIII · Bab 2 Bentuk Akar

D. Merasionalkan Penyebut

Memahami merasionalkan penyebut melalui konsep, contoh, dan latihan mandiri.

Tujuan Pembelajaran

Merasionalkan Penyebut
Gambar 1: Perkalian dengan faktor sekawan untuk menghilangkan akar di penyebut.

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

  • Menjelaskan konsep merasionalkan penyebut dan alasan pentingnya menghilangkan bentuk akar dari penyebut.
  • Merasionalkan penyebut berbentuk a\sqrt{a} dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan a\sqrt{a}.
  • Merasionalkan penyebut berbentuk a+ba+\sqrt{b} atau a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} menggunakan bentuk sekawan (konjugat).

Materi

Mengapa Penyebut Perlu Dirasionalkan

Bentuk pecahan dianggap lebih sederhana dan lebih mudah dihitung apabila penyebutnya bukan bentuk akar (bilangan rasional). Proses mengubah penyebut yang berbentuk akar menjadi bilangan rasional disebut merasionalkan penyebut.

Merasionalkan Penyebut Berbentuk a\sqrt{a}

Kalikan pembilang dan penyebut dengan a\sqrt{a} (bentuk akar yang sama dengan penyebut), sehingga penyebut menjadi a×a=a\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a (bilangan rasional). 1a=1a×aa=aa\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}

Contoh: 12=12×22=22\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Merasionalkan Penyebut Berbentuk a+ba+\sqrt{b} atau a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}

Untuk penyebut berbentuk penjumlahan atau pengurangan yang memuat bentuk akar, gunakan bentuk sekawan (konjugat), yaitu bentuk yang tandanya dibalik:

  • Sekawan dari a+ba+\sqrt{b} adalah a−ba-\sqrt{b}, karena (a+b)(a−b)=a2−b(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^2 - b (bebas dari bentuk akar).
  • Sekawan dari a+b\sqrt{a}+\sqrt{b} adalah a−b\sqrt{a}-\sqrt{b}, karena (a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b (bebas dari bentuk akar).

Kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya.

Contoh

Contoh 1: Rasionalkan penyebut 13\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Penyelesaian: 13=13×33=33\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Contoh 2: Rasionalkan penyebut 62\dfrac{6}{\sqrt{2}}.

Penyelesaian: 62=62×22=622=32\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

Contoh 3 (bentuk sekawan a+ba+\sqrt{b}): Rasionalkan penyebut 12+3\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}.

Penyelesaian: Sekawan dari 2+32+\sqrt{3} adalah 2−32-\sqrt{3}. 12+3×2−32−3=2−322−(3)2=2−34−3=2−31=2−3\frac{1}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}

Contoh 4 (bentuk sekawan a+b\sqrt{a}+\sqrt{b}): Rasionalkan penyebut 45−2\dfrac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}.

Penyelesaian: Sekawan dari 5−2\sqrt{5}-\sqrt{2} adalah 5+2\sqrt{5}+\sqrt{2}. 45−2×5+25+2=4(5+2)5−2=45+423\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2} = \frac{4\sqrt{5}+4\sqrt{2}}{3}

Latihan

  1. Bentuk rasional dari 15\dfrac{1}{\sqrt{5}} adalah … A. 5\sqrt{5} B. 55\dfrac{\sqrt{5}}{5} C. 55\dfrac{5}{\sqrt{5}} D. 15\dfrac{1}{5}
  2. Bentuk rasional dari 36\dfrac{3}{\sqrt{6}} adalah … A. 62\dfrac{\sqrt{6}}{2} B. 362\dfrac{3\sqrt{6}}{2} C. 6\sqrt{6} D. 66\dfrac{\sqrt{6}}{6}
  3. Rasionalkan penyebut 53\dfrac{5}{\sqrt{3}}.
  4. Rasionalkan penyebut 23+2\dfrac{2}{3+\sqrt{2}} menggunakan bentuk sekawan.
  5. Rasionalkan penyebut 67−5\dfrac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} menggunakan bentuk sekawan.
  6. Dalam sebuah rumus fisika, kecepatan dinyatakan v=105v = \dfrac{10}{\sqrt{5}} m/s. Nyatakan vv dalam bentuk rasional paling sederhana.

Jawab:

  1. B. 15×55=55\dfrac{1}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}.
  2. A. 36×66=366=62\dfrac{3}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}.
  3. 53×33=533\dfrac{5}{\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}.
  4. Sekawan dari 3+23+\sqrt{2} adalah 3−23-\sqrt{2}. 23+2×3−23−2=2(3−2)9−2=6−227\dfrac{2}{3+\sqrt{2}} \times \dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \dfrac{2(3-\sqrt{2})}{9-2} = \dfrac{6-2\sqrt{2}}{7}.
  5. Sekawan dari 7−5\sqrt{7}-\sqrt{5} adalah 7+5\sqrt{7}+\sqrt{5}. 67−5×7+57+5=6(7+5)7−5=67+652=37+35\dfrac{6}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \dfrac{6(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \dfrac{6\sqrt{7}+6\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{7}+3\sqrt{5}.
  6. v=105×55=1055=25v = \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} m/s.

Kuis Formatif

  1. Rasionalkan penyebut 42\dfrac{4}{\sqrt{2}}.
  2. Rasionalkan penyebut 77\dfrac{7}{\sqrt{7}}.
  3. Tentukan bentuk sekawan dari 5−35-\sqrt{3}.
  4. Rasionalkan penyebut 14−3\dfrac{1}{4-\sqrt{3}}.
  5. Rasionalkan penyebut 36+2\dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.

Jawaban kunci:

  1. 42×22=422=22\dfrac{4}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
  2. 77×77=777=7\dfrac{7}{\sqrt{7}} \times \dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \dfrac{7\sqrt{7}}{7} = \sqrt{7}
  3. 5+35+\sqrt{3}
  4. Sekawan dari 4−34-\sqrt{3} adalah 4+34+\sqrt{3}. 14−3×4+34+3=4+316−3=4+313\dfrac{1}{4-\sqrt{3}} \times \dfrac{4+\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}} = \dfrac{4+\sqrt{3}}{16-3} = \dfrac{4+\sqrt{3}}{13}
  5. Sekawan dari 6+2\sqrt{6}+\sqrt{2} adalah 6−2\sqrt{6}-\sqrt{2}. 36+2×6−26−2=3(6−2)6−2=36−324\dfrac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \dfrac{3(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \dfrac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4}

Bagikan:

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.