E. Penerapan Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menerapkan bentuk akar untuk menghitung panjang sisi segitiga siku-siku menggunakan Teorema Pythagoras.
• Menerapkan bentuk akar untuk menghitung sisi persegi dari luas yang diketahui, termasuk diagonalnya.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan penyederhanaan bentuk akar.

Materi

Bentuk Akar pada Teorema Pythagoras

Pada segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $a$ dan $b$ serta sisi miring $c$, berlaku: $c = \sqrt{a^2+b^2}$

Jika $a^2+b^2$ bukan bilangan kuadrat sempurna, maka panjang sisi miring akan berupa bentuk akar. Bentuk akar tersebut dapat disederhanakan menggunakan cara yang telah dipelajari pada submateri sebelumnya.

Bentuk Akar pada Persegi

Luas persegi dengan panjang sisi $s$ adalah $L = s^2$, sehingga panjang sisi dapat dicari dengan: $s = \sqrt{L}$

Diagonal persegi dengan sisi $s$ dapat dihitung menggunakan Teorema Pythagoras, karena diagonal membagi persegi menjadi dua segitiga siku-siku sama kaki: $d = \sqrt{s^2+s^2} = \sqrt{2s^2} = s\sqrt{2}$

Contoh

Contoh 1: Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku $4\text{ cm}$ dan $6\text{ cm}$. Tentukan panjang sisi miringnya dalam bentuk akar paling sederhana.

Penyelesaian: $c = \sqrt{4^2+6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$

Contoh 2: Sebuah persegi memiliki luas $45\text{ cm}^2$. Tentukan panjang sisinya.

Penyelesaian: $s = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\text{ cm}$

Contoh 3: Sebuah segitiga sama sisi memiliki panjang sisi $10\text{ cm}$. Tentukan tinggi segitiga tersebut.

Penyelesaian: Garis tinggi membagi alas menjadi dua bagian sama panjang ($5\text{ cm}$), sehingga terbentuk segitiga siku-siku dengan sisi miring $10\text{ cm}$ dan salah satu sisi siku-siku $5\text{ cm}$. $h = \sqrt{10^2-5^2} = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\text{ cm}$

Contoh 4: Tentukan panjang diagonal sebuah persegi dengan sisi $6\text{ cm}$.

Penyelesaian: $d = \sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\text{ cm}$

Latihan

1. Sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku $3\text{ cm}$ dan $5\text{ cm}$ adalah … A. $\sqrt{8}\text{ cm}$ B. $\sqrt{15}\text{ cm}$ C. $\sqrt{34}\text{ cm}$ D. $8\text{ cm}$
2. Panjang diagonal persegi dengan sisi $8\text{ cm}$ adalah … A. $4\sqrt{2}\text{ cm}$ B. $8\sqrt{2}\text{ cm}$ C. $16\sqrt{2}\text{ cm}$ D. $8\sqrt{8}\text{ cm}$
3. Sebuah persegi memiliki luas $98\text{ cm}^2$. Tentukan panjang sisinya dalam bentuk akar paling sederhana.
4. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku $5\text{ cm}$ dan $7\text{ cm}$. Tentukan panjang sisi miringnya.
5. Sebuah tangga bersandar pada tembok. Kaki tangga berjarak $2\text{ m}$ dari tembok, dan tangga mencapai tinggi $6\text{ m}$ pada tembok. Berapa panjang tangga tersebut?
6. Sebuah kolam berbentuk persegi memiliki luas $50\text{ m}^2$. Pak Budi ingin memasang pagar mengelilingi kolam tersebut. Tentukan panjang sisi kolam (bentuk paling sederhana) dan keliling kolam.

Jawab:

1. C. $c = \sqrt{3^2+5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$ (tidak dapat disederhanakan lagi karena $34 = 2 \times 17$ tidak memiliki faktor kuadrat sempurna).
2. B. $d = \sqrt{8^2+8^2} = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}$.
3. $s = \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\text{ cm}$.
4. $c = \sqrt{5^2+7^2} = \sqrt{25+49} = \sqrt{74}\text{ cm}$ (tidak dapat disederhanakan lagi karena $74 = 2 \times 37$).
5. Panjang tangga $= \sqrt{2^2+6^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}\text{ m}$.
6. Sisi kolam $= \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\text{ m}$. Keliling $= 4 \times 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\text{ m}$.

Kuis Formatif

1. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku $6\text{ cm}$ dan $10\text{ cm}$. Tentukan panjang sisi miringnya dalam bentuk akar paling sederhana.
2. Sebuah persegi memiliki luas $20\text{ cm}^2$. Tentukan panjang sisinya.
3. Tentukan panjang diagonal persegi dengan sisi $5\text{ cm}$.
4. Tentukan tinggi segitiga sama sisi dengan panjang sisi $8\text{ cm}$.
5. Sebuah kabel ditarik dari puncak tiang setinggi $12\text{ m}$ ke sebuah titik di tanah yang berjarak $9\text{ m}$ dari dasar tiang. Berapa panjang kabel tersebut?

Jawaban kunci:

1. $c = \sqrt{6^2+10^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34}\text{ cm}$
2. $s = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\text{ cm}$
3. $d = \sqrt{5^2+5^2} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\text{ cm}$
4. $h = \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}$
5. Panjang kabel $= \sqrt{12^2+9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\text{ m}$ (hasilnya bilangan rasional karena $225 = 15^2$ adalah kuadrat sempurna, sehingga bukan bentuk akar).

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.