C. Operasi Aljabar Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan syarat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar, yaitu harus sejenis (radikan sama).
• Menjumlahkan atau mengurangkan bentuk akar yang belum sejenis dengan menyederhanakannya terlebih dahulu.
• Melakukan perkalian dan pembagian bentuk akar, termasuk yang memiliki koefisien.

Materi

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika sejenis, yaitu memiliki bilangan yang sama di bawah tanda akar (radikan sama). Caranya seperti menjumlahkan suku sejenis pada bentuk aljabar: jumlahkan atau kurangkan koefisiennya, radikan tetap. $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$ $a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c}$

Misalnya $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Namun, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ tidak dapat disederhanakan menjadi satu suku karena radikannya berbeda.

Jika bentuk akar tampak berbeda jenis, sederhanakan dahulu masing-masing bentuk akar. Setelah disederhanakan, mungkin saja radikannya menjadi sama sehingga bisa dijumlahkan: $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Perkalian Bentuk Akar

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$

Jika ada koefisien, kalikan koefisien dengan koefisien, dan bentuk akar dengan bentuk akar: $(m\sqrt{a}) \times (n\sqrt{b}) = mn\sqrt{a \times b}$

Misalnya $2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} = 8\sqrt{15}$.

Pembagian Bentuk Akar

$\frac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}} = \frac{m}{n}\sqrt{\frac{a}{b}}$

Contoh

Contoh 1: Hitung $7\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.

Penyelesaian: Karena sejenis (radikan sama), koefisiennya langsung dikurangkan. $7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

Contoh 2: Hitung $\sqrt{12} + \sqrt{27}$.

Penyelesaian: Sederhanakan dahulu masing-masing bentuk akar. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}, \qquad \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Contoh 3: Hitung $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{6}$.

Penyelesaian: $3\sqrt{2} \times 5\sqrt{6} = 15\sqrt{12} = 15\sqrt{4 \times 3} = 15 \times 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$

Contoh 4: Hitung $\dfrac{10\sqrt{20}}{2\sqrt{5}}$.

Penyelesaian: $\frac{10\sqrt{20}}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{2}\sqrt{\frac{20}{5}} = 5\sqrt{4} = 5 \times 2 = 10$

Latihan

1. Hasil dari $6\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$ adalah … A. $8\sqrt{3}$ B. $8\sqrt{6}$ C. $12\sqrt{3}$ D. $4\sqrt{3}$
2. Hasil dari $\sqrt{50} - \sqrt{8}$ adalah … A. $\sqrt{42}$ B. $2\sqrt{2}$ C. $3\sqrt{2}$ D. $7\sqrt{2}$
3. Sederhanakan $\sqrt{45} + \sqrt{20}$.
4. Hitung $4\sqrt{2} \times 3\sqrt{8}$.
5. Hitung $\dfrac{6\sqrt{48}}{3\sqrt{3}}$.
6. Seutas kawat sepanjang $4\sqrt{5}$ m disambung dengan kawat lain sepanjang $2\sqrt{5}$ m. Berapa total panjang kawat tersebut?

Jawab:

1. A. $6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
2. C. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ dan $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, sehingga $5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ dan $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$, sehingga $\sqrt{45} + \sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
4. $4\sqrt{2} \times 3\sqrt{8} = 12\sqrt{16} = 12 \times 4 = 48$.
5. $\dfrac{6\sqrt{48}}{3\sqrt{3}} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$.
6. $4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ m.

Kuis Formatif

1. Hitung $9\sqrt{7} - 4\sqrt{7}$.
2. Hitung $\sqrt{8} + \sqrt{32}$.
3. Hitung $5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}$.
4. Hitung $\dfrac{12\sqrt{18}}{4\sqrt{2}}$.
5. Jelaskan mengapa $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ tidak dapat disederhanakan menjadi satu suku.

Jawaban kunci:

1. $5\sqrt{7}$
2. $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, sehingga $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
3. $5\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$
4. $\dfrac{12\sqrt{18}}{4\sqrt{2}} = 3\sqrt{9} = 3 \times 3 = 9$
5. Karena $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{3}$ memiliki radikan yang berbeda dan tidak dapat disederhanakan menjadi radikan yang sama, keduanya bukan bentuk akar sejenis sehingga tidak bisa digabung menjadi satu suku.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.