A. Pengertian dan Notasi Bentuk Akar

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan pengertian bentuk akar sebagai bilangan irasional dan membedakannya dari akar yang hasilnya bilangan rasional.
• Menuliskan notasi akar pangkat $n$ ($\sqrt[n]{a}$) dan mengubahnya ke bentuk pangkat pecahan.
• Mengidentifikasi bilangan kuadrat sempurna untuk menentukan apakah suatu bentuk akar termasuk bilangan irasional atau bukan.
• Menyelesaikan soal identifikasi bentuk akar dalam situasi kontekstual.

Materi

Pengertian Bentuk Akar

Akar kuadrat dari suatu bilangan $a$ (ditulis $\sqrt{a}$) adalah bilangan yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri menghasilkan $a$. Ada dua kemungkinan hasil akar kuadrat:

1. Hasilnya bilangan rasional (bisa dinyatakan sebagai pecahan biasa atau desimal berhenti/berulang), misalnya $\sqrt{4} = 2$ dan $\sqrt{9} = 3$. Akar seperti ini bukan disebut bentuk akar.
2. Hasilnya bilangan irasional (tidak bisa dinyatakan sebagai pecahan, desimalnya tak berhenti dan tak berulang), misalnya $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$. Akar seperti inilah yang disebut bentuk akar (radikal).

Jadi, bentuk akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional.

Notasi Bentuk Akar

Bentuk akar pangkat $n$ dari bilangan $a$ ditulis $\sqrt[n]{a}$, dengan:

• $\sqrt{a}$ berarti akar pangkat dua (angka $2$ pada tanda akar boleh tidak dituliskan),
• $\sqrt[3]{a}$ berarti akar pangkat tiga,
• $\sqrt[n]{a}$ berarti akar pangkat $n$ secara umum.

Hubungan Akar dengan Pangkat Pecahan

Bentuk akar dapat dinyatakan sebagai bilangan berpangkat pecahan: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$

Bilangan Kuadrat Sempurna

Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan yang merupakan hasil kuadrat dari bilangan bulat, yaitu $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$, dan seterusnya. Untuk menentukan apakah $\sqrt{a}$ termasuk bentuk akar atau bukan, periksa apakah $a$ termasuk bilangan kuadrat sempurna:

• Jika $a$ adalah bilangan kuadrat sempurna, maka $\sqrt{a}$ bukan bentuk akar (hasilnya bilangan bulat).
• Jika $a$ bukan bilangan kuadrat sempurna, maka $\sqrt{a}$ adalah bentuk akar (hasilnya bilangan irasional).

Contoh

Contoh 1: Tentukan apakah $\sqrt{16}$ termasuk bentuk akar.

Penyelesaian: Karena $16 = 4^2$ adalah bilangan kuadrat sempurna, maka $\sqrt{16} = 4$, yaitu bilangan rasional (bulat). Jadi, $\sqrt{16}$ bukan bentuk akar.

Contoh 2: Tentukan apakah $\sqrt{20}$ termasuk bentuk akar.

Penyelesaian: Bilangan kuadrat sempurna terdekat adalah $16 (=4^2)$ dan $25 (=5^2)$. Karena $20$ berada di antara keduanya dan bukan kuadrat sempurna, maka $\sqrt{20}$ adalah bilangan irasional. Jadi, $\sqrt{20}$ termasuk bentuk akar.

Contoh 3: Nyatakan $\sqrt[3]{8}$ dalam bentuk pangkat pecahan, lalu tentukan apakah termasuk bentuk akar.

Penyelesaian: $\sqrt[3]{8} = 8^{1/3}$. Karena $8 = 2^3$, maka $8^{1/3} = 2$, yaitu bilangan rasional (bulat). Jadi, meskipun ditulis dengan tanda akar, $\sqrt[3]{8}$ bukan bentuk akar.

Contoh 4: Nyatakan $\sqrt{7}$ dalam bentuk pangkat pecahan.

Penyelesaian: $\sqrt{7} = 7^{1/2}$. Karena $7$ bukan bilangan kuadrat sempurna, $\sqrt{7}$ merupakan bentuk akar (bilangan irasional).

Latihan

1. Manakah bilangan berikut yang merupakan bentuk akar? A. $\sqrt{25}$ B. $\sqrt{36}$ C. $\sqrt{15}$ D. $\sqrt{49}$
2. Bentuk pangkat pecahan dari $\sqrt[5]{a^3}$ adalah … A. $a^{5/3}$ B. $a^{3/5}$ C. $a^{1/15}$ D. $a^{15}$
3. Tentukan apakah $\sqrt{81}$ termasuk bentuk akar atau bukan. Jelaskan alasanmu.
4. Ubahlah $\sqrt{11}$ ke dalam bentuk pangkat pecahan.
5. Sebutkan lima bilangan kuadrat sempurna yang terletak antara $1$ dan $100$.
6. Sebuah persegi memiliki luas $18\text{ cm}^2$. Apakah panjang sisi persegi tersebut merupakan bentuk akar? Jelaskan.

Jawab:

1. C, karena $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{49}=7$ semuanya rasional, sedangkan $15$ bukan kuadrat sempurna sehingga $\sqrt{15}$ irasional.
2. B, karena $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$, sehingga $\sqrt[5]{a^3} = a^{3/5}$.
3. Bukan bentuk akar, karena $81 = 9^2$ adalah kuadrat sempurna, sehingga $\sqrt{81} = 9$ merupakan bilangan rasional.
4. $\sqrt{11} = 11^{1/2}$.
5. Contohnya $1, 4, 9, 16, 25$ (bilangan kuadrat sempurna lain yang juga benar: $36, 49, 64, 81$).
6. Ya, termasuk bentuk akar. Karena $18$ bukan bilangan kuadrat sempurna (terletak di antara $16$ dan $25$), maka panjang sisinya adalah $\sqrt{18}\text{ cm}$, yaitu bilangan irasional (bentuk akar ini dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi $3\sqrt{2}\text{ cm}$, seperti akan dipelajari pada submateri berikutnya).

Kuis Formatif

1. Apakah $\sqrt{64}$ termasuk bentuk akar? Jelaskan.
2. Tuliskan $\sqrt[4]{a^5}$ dalam bentuk pangkat pecahan.
3. Manakah di antara $\sqrt{100}, \sqrt{90}, \sqrt{121}$ yang merupakan bentuk akar?
4. Ubahlah $5^{1/2}$ ke dalam notasi akar.
5. Sebutkan bilangan kuadrat sempurna yang terletak antara $100$ dan $200$.

Jawaban kunci:

1. Tidak, karena $64 = 8^2$ adalah kuadrat sempurna sehingga $\sqrt{64} = 8$ merupakan bilangan rasional.
2. $a^{5/4}$
3. $\sqrt{90}$, karena $90$ bukan bilangan kuadrat sempurna.
4. $\sqrt{5}$
5. $121, 144, 169, 196$

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.