E. Garis Sejajar Tegak Lurus

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan syarat dua garis sejajar dan dua garis tegak lurus berdasarkan gradiennya.
• Menentukan apakah dua garis sejajar, tegak lurus, atau tidak keduanya.
• Menentukan gradien garis yang sejajar atau tegak lurus dengan garis lain.
• Menerapkan konsep garis sejajar dan tegak lurus dalam penyelesaian masalah.

Materi

Dua Garis Sejajar

Dua garis dikatakan sejajar jika keduanya memiliki gradien yang sama.

$\text{garis } k \parallel \text{garis } l \iff m_k = m_l$

Garis-garis sejajar tidak akan pernah berpotongan, karena tingkat kemiringannya identik.

Dua Garis Tegak Lurus

Dua garis dikatakan tegak lurus jika hasil kali gradien keduanya sama dengan $-1$.

$\text{garis } k \perp \text{garis } l \iff m_k \times m_l = -1$

Persamaan ini dapat ditulis ulang menjadi $m_l = -\frac{1}{m_k}$, artinya gradien salah satu garis merupakan kebalikan (invers) dan berlawanan tanda dari gradien garis yang lain.

Cara Menentukan Hubungan Dua Garis

1. Tentukan gradien masing-masing garis (dari dua titik atau dari bentuk $y=mx+c$).
2. Bandingkan kedua gradien:
   • Jika $m_1 = m_2$, kedua garis sejajar.
   • Jika $m_1 \times m_2 = -1$, kedua garis tegak lurus.
   • Jika tidak memenuhi keduanya, garis berpotongan tetapi tidak tegak lurus.

Contoh

Contoh 1 (memeriksa kesejajaran): Garis $k$ memiliki gradien $m_k = 3$. Garis $l$ melalui titik $(0, 2)$ dan $(2, 8)$. Apakah garis $k$ dan $l$ sejajar?

Penyelesaian: $m_l = \frac{8-2}{2-0} = \frac{6}{2} = 3$ Karena $m_k = m_l = 3$, maka garis $k$ dan $l$ sejajar.

Contoh 2 (memeriksa ketegaklurusan): Garis $p$ memiliki gradien $m_p = 2$. Garis $q$ melalui titik $(0, 4)$ dan $(4, 2)$. Apakah garis $p$ dan $q$ saling tegak lurus?

Penyelesaian: $m_q = \frac{2-4}{4-0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ $m_p \times m_q = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ Karena hasil kalinya $-1$, maka garis $p$ dan $q$ saling tegak lurus.

Contoh 3 (dari bentuk persamaan): Tentukan apakah garis $y = 3x - 2$ dan $y = 3x + 5$ sejajar.

Penyelesaian: Kedua persamaan memiliki gradien $m_1 = 3$ dan $m_2 = 3$. Karena $m_1 = m_2$, kedua garis sejajar (dan tidak berimpit, karena titik potong sumbu-y berbeda: $-2 \neq 5$).

Contoh 4 (mencari gradien garis tegak lurus): Tentukan gradien garis yang tegak lurus dengan garis $y = -4x + 1$.

Penyelesaian: Gradien garis tersebut adalah $m_1 = -4$. Gradien garis yang tegak lurus: $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}$

Latihan

1. Garis $a$ memiliki gradien $5$. Tentukan gradien garis yang sejajar dengan garis $a$.
2. Garis $b$ memiliki gradien $\frac{2}{3}$. Tentukan gradien garis yang tegak lurus dengan garis $b$.
3. Apakah garis $y = 2x + 1$ dan $y = -\frac{1}{2}x + 4$ saling tegak lurus? Jelaskan.
4. Garis $m$ melalui titik $(1, 1)$ dan $(3, 7)$. Garis $n$ melalui titik $(0, -2)$ dan $(2, 4)$. Apakah garis $m$ dan $n$ sejajar?
5. Garis $p$ melalui titik $(-2, 5)$ dan $(2, -3)$. Garis $q$ melalui titik $(0, 0)$ dan $(4, 8)$. Apakah garis $p$ dan $q$ saling tegak lurus?
6. Tentukan gradien garis yang tegak lurus dengan garis $3x + y - 6 = 0$. (Petunjuk: ubah dulu ke bentuk $y=mx+c$.)

Jawab:

1. Sejajar berarti gradien sama, jadi $m = 5$.
2. Tegak lurus berarti $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2}$.
3. $m_1 = 2$ dan $m_2 = -\frac{1}{2}$. $m_1 \times m_2 = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$. Ya, saling tegak lurus.
4. $m_m = \frac{7-1}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ dan $m_n = \frac{4-(-2)}{2-0} = \frac{6}{2} = 3$. Karena $m_m = m_n$, garis $m$ dan $n$ sejajar.
5. $m_p = \frac{-3-5}{2-(-2)} = \frac{-8}{4} = -2$ dan $m_q = \frac{8-0}{4-0} = 2$. $m_p \times m_q = -2 \times 2 = -4 \neq -1$. Jadi tidak saling tegak lurus (dan juga tidak sejajar).
6. $3x+y-6=0 \Rightarrow y = -3x+6$, sehingga $m_1 = -3$. Gradien tegak lurus: $m_2 = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Kuis Formatif

1. Syarat dua garis sejajar adalah …
2. Syarat dua garis tegak lurus adalah …
3. Jika gradien suatu garis adalah $\frac{1}{4}$, gradien garis yang tegak lurus dengannya adalah …
4. Garis $y = -2x + 3$ dan $y = -2x - 7$ merupakan dua garis yang …
5. Garis $y = \frac{1}{3}x + 2$ dan $y = -3x + 1$ merupakan dua garis yang …

Jawaban kunci:

1. Gradien kedua garis sama ($m_1 = m_2$).
2. Hasil kali gradien kedua garis sama dengan $-1$ ($m_1 \times m_2 = -1$).
3. $-4$
4. Sejajar (gradien sama, yaitu $-2$).
5. Tegak lurus, karena $\frac{1}{3} \times (-3) = -1$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.