B. Konsep Gradien

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan ide utama konsep gradien dengan bahasa sendiri.
• Menggunakan konsep pada contoh sederhana dan situasi kontekstual.
• Menyelesaikan latihan secara runtut dengan alasan yang jelas.

Materi

1. Pengertian Gradien

Gradien ($m$) adalah nilai yang menunjukkan tingkat kemiringan suatu garis lurus. Gradien didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan nilai pada sumbu tegak ($\Delta y$) dengan perubahan nilai pada sumbu mendatar ($\Delta x$).

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Keterangan:

• $m = \text{Gradien garis}$
• $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah dua titik sembarang yang dilalui oleh garis tersebut.

2. Sifat Arah Kemiringan Garis

• Gradien Positif ($m > 0$): Garis miring ke kanan atas. Jika $x$ bertambah, $y$ ikut bertambah.
• Gradien Negatif ($m < 0$): Garis miring ke kanan bawah. Jika $x$ bertambah, $y$ berkurang.
• Gradien Nol ($m = 0$): Garis sejajar sumbu X (horizontal).
• Gradien Tak Terdefinisi ($m = \infty$): Garis sejajar sumbu Y (vertikal), karena $\Delta x = 0$.

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1: Tentukan gradien garis yang melalui titik $A(1, 2)$ dan $B(4, 8)$!

Penyelesaian: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ Artinya, setiap kenaikan 1 satuan nilai $x$, nilai $y$ akan bertambah sebesar 2 satuan.

Contoh 2: Tentukan gradien garis yang melalui titik $(2, 5)$ dan $(6, 1)$!

Penyelesaian: $m = \frac{1 - 5}{6 - 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Latihan Mandiri

1. Hitunglah gradien garis yang melalui titik $(2, 3)$ dan $(6, 11)$!
2. Sebuah jalan memiliki kemiringan dengan titik awal $(0, 0)$ dan titik tertinggi pada koordinat $(50, 10)\text{ meter}$. Berapakah nilai gradien kemiringan jalan tersebut?

Jawaban:

1. $m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = \mathbf{2}$.
2. $m = \frac{10 - 0}{50 - 0} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} = \mathbf{0,2}$.

Kuis Formatif

1. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(0,0)$ dan $(5,15)$.
2. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(3,7)$ dan $(3,12)$. Apa makna hasilnya?
3. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(-2,4)$ dan $(2,-4)$.
4. Sebuah tangga memiliki titik kaki $(0,0)$ dan titik puncak $(3,9)$ meter. Tentukan gradiennya.
5. Jelaskan makna gradien negatif pada arah kemiringan garis.

Jawaban kunci:

1. $m=\frac{15-0}{5-0}=3$.
2. $m=\frac{12-7}{3-3}=\frac{5}{0}$, tidak terdefinisi karena garis vertikal (sejajar sumbu Y).
3. $m=\frac{-4-4}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2$.
4. $m=\frac{9-0}{3-0}=3$.
5. Gradien negatif berarti garis miring ke kanan bawah; semakin besar nilai $x$, nilai $y$ semakin kecil (berkurang).

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.