F. Penerapan PGL

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menerapkan persamaan garis lurus untuk memodelkan situasi biaya tetap dan biaya per unit.
• Membaca dan menafsirkan grafik hubungan linear dalam konteks nyata.
• Memprediksi nilai suatu besaran menggunakan persamaan garis lurus.
• Menyelesaikan masalah kontekstual dengan menyusun model $y=mx+c$.

Materi

1. Model Biaya Tetap dan Biaya per Unit

Banyak situasi sehari-hari mengikuti pola linear berbentuk:

$y = mx + c$

dengan:

• $c$ = biaya tetap (biaya yang harus dibayar walau $x=0$), sepadan dengan titik potong sumbu-y,
• $m$ = biaya per unit (tarif tambahan untuk setiap satu satuan $x$), sepadan dengan gradien,
• $x$ = banyak unit (jarak, waktu, jumlah barang, dan sebagainya),
• $y$ = total biaya atau nilai akhir.

Contoh konteks: ongkos taksi (tarif buka pintu + tarif per km), tarif listrik (biaya beban + biaya per kWh), dan biaya sewa (uang muka + biaya per hari).

2. Membaca Grafik Hubungan Linear

Pada grafik hubungan linear, titik potong dengan sumbu-y menunjukkan nilai awal (biaya tetap), sedangkan kemiringan (gradien) garis menunjukkan laju perubahan nilai $y$ terhadap $x$.

3. Memprediksi Nilai dengan Persamaan Garis

Jika model persamaan garis sudah diperoleh, nilai $y$ untuk suatu $x$ tertentu (bahkan yang belum tercatat datanya) dapat diprediksi dengan mensubstitusikan nilai $x$ ke persamaan.

Contoh

Contoh 1 (tarif taksi): Sebuah taksi mengenakan biaya buka pintu Rp7.000 dan tarif Rp3.500 setiap kilometer. Tentukan persamaan biaya $y$ terhadap jarak tempuh $x$ km, lalu hitung biaya untuk jarak 10 km.

Penyelesaian: Biaya tetap $c = 7.000$, biaya per km $m = 3.500$, sehingga persamaannya: $y = 3.500x + 7.000$ Untuk $x=10$: $y = 3.500(10) + 7.000 = 35.000 + 7.000 = 42.000$ Jadi biaya taksi untuk 10 km adalah Rp42.000.

Contoh 2 (menyusun model dari dua data): Sebuah percetakan mengenakan biaya Rp15.000 untuk mencetak 5 lembar dan Rp29.000 untuk mencetak 12 lembar. Tentukan persamaan biaya terhadap banyak lembar, lalu prediksi biaya untuk 20 lembar.

Penyelesaian: Dua data dianggap sebagai titik $(5, 15.000)$ dan $(12, 29.000)$. $m = \frac{29.000 - 15.000}{12 - 5} = \frac{14.000}{7} = 2.000$ Substitusikan ke $y - y_1 = m(x-x_1)$ dengan titik $(5, 15.000)$: $y - 15.000 = 2.000(x - 5)$ $y = 2.000x - 10.000 + 15.000 = 2.000x + 5.000$ Jadi biaya tetap (biaya persiapan cetak) adalah Rp5.000 dan biaya per lembar Rp2.000. Untuk $x=20$: $y = 2.000(20) + 5.000 = 40.000 + 5.000 = 45.000$ Prediksi biaya cetak 20 lembar adalah Rp45.000.

Contoh 3 (grafik penurunan linear): Sebuah tangki air berisi 100 liter air. Air dikuras dengan laju tetap 5 liter per menit. Tentukan persamaan volume air $y$ terhadap waktu $x$ menit, lalu tentukan kapan tangki habis.

Penyelesaian: Volume awal $c=100$, laju perubahan $m=-5$ (berkurang), sehingga: $y = -5x + 100$ Tangki habis ketika $y=0$: $0 = -5x + 100 \implies 5x = 100 \implies x = 20$ Jadi tangki akan habis setelah 20 menit.

Latihan

1. Tarif parkir motor adalah Rp2.000 untuk satu jam pertama dan Rp1.000 untuk setiap jam berikutnya. Jika $x$ menyatakan banyak jam setelah jam pertama, tentukan persamaan biaya parkir $y$, lalu hitung biaya parkir selama 5 jam.
2. Sebuah usaha katering mengenakan biaya Rp500.000 untuk 20 porsi dan Rp1.100.000 untuk 50 porsi. Tentukan persamaan biaya terhadap banyak porsi, lalu prediksi biaya untuk 80 porsi.
3. Sebuah mobil pada saat $x=0$ jam berada pada jarak 20 km dari kota A dan bergerak menjauh dengan kecepatan tetap 60 km/jam. Tentukan persamaan jarak $y$ terhadap waktu $x$ jam, lalu tentukan jarak mobil setelah 3 jam.
4. Sebuah lilin memiliki panjang awal 20 cm dan menyusut 0,5 cm setiap menit karena dinyalakan. Tentukan persamaan panjang lilin $y$ terhadap waktu $x$ menit, lalu tentukan kapan lilin habis.
5. Grafik biaya les privat menunjukkan titik potong sumbu-y di $(0, 50.000)$ dan melalui titik $(4, 250.000)$, dengan $x$ = banyak pertemuan. Tentukan persamaan garisnya, lalu hitung biaya untuk 6 kali pertemuan.
6. Suatu perusahaan air minum mengenakan biaya beban Rp20.000 dan Rp3.000 per meter kubik pemakaian. Jika tagihan seorang pelanggan Rp83.000, berapa meter kubik air yang ia pakai?

Jawab:

1. $y = 1.000x + 2.000$. Untuk parkir 5 jam, banyak jam setelah jam pertama adalah $x=4$: $y=1.000(4)+2.000=6.000$. Biaya parkir 5 jam adalah Rp6.000.
2. $m = \frac{1.100.000-500.000}{50-20} = \frac{600.000}{30} = 20.000$. $y-500.000=20.000(x-20) \Rightarrow y=20.000x+100.000$. Untuk $x=80$: $y=20.000(80)+100.000=1.700.000$.
3. $y = 60x + 20$. Untuk $x=3$: $y=60(3)+20=200$. Jarak mobil setelah 3 jam adalah 200 km.
4. $y = -0,5x + 20$. Lilin habis saat $y=0$: $0=-0,5x+20 \Rightarrow x=40$. Lilin habis setelah 40 menit.
5. $m=\frac{250.000-50.000}{4-0}=\frac{200.000}{4}=50.000$. Persamaan: $y=50.000x+50.000$. Untuk $x=6$: $y=50.000(6)+50.000=350.000$.
6. $83.000 = 3.000x + 20.000 \Rightarrow 3.000x = 63.000 \Rightarrow x = 21$. Pemakaian air sebanyak 21 meter kubik.

Kuis Formatif

1. Dalam model biaya $y=mx+c$, apa yang ditunjukkan oleh nilai $c$?
2. Tarif ojek daring Rp2.500 per km ditambah biaya aplikasi Rp3.000. Tentukan persamaan biaya untuk jarak $x$ km.
3. Menggunakan persamaan pada soal nomor 2, hitung biaya untuk jarak 8 km.
4. Sebuah bak air memiliki 200 liter air dan diisi dengan laju 10 liter per menit. Tentukan persamaan volume air $y$ terhadap waktu $x$ menit.
5. Menggunakan persamaan pada soal nomor 4, tentukan waktu yang dibutuhkan hingga bak berisi 500 liter.

Jawaban kunci:

1. Biaya tetap atau nilai awal (nilai $y$ saat $x=0$).
2. $y = 2.500x + 3.000$.
3. $y=2.500(8)+3.000=20.000+3.000=23.000$, biaya Rp23.000.
4. $y = 10x + 200$.
5. $500=10x+200 \Rightarrow 10x=300 \Rightarrow x=30$. Waktu yang dibutuhkan 30 menit.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.