C. Gradien Dua Titik

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari submateri ini, siswa diharapkan mampu:

• Menjelaskan rumus gradien garis yang melalui dua titik.
• Menghitung gradien garis dari dua titik yang diketahui koordinatnya.
• Mengidentifikasi kondisi gradien positif, negatif, nol, dan tak terdefinisi.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan gradien dua titik.

Materi

Rumus Gradien Dua Titik

Gradien garis lurus yang melalui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ dirumuskan sebagai:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_1 \neq x_2$

Urutan titik boleh ditukar asalkan konsisten pada pembilang dan penyebut, karena $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

Kondisi Khusus Gradien

• Gradien positif ($m > 0$): garis naik dari kiri ke kanan.
• Gradien negatif ($m < 0$): garis turun dari kiri ke kanan.
• Gradien nol ($m = 0$): terjadi ketika $y_1 = y_2$, garis berupa garis horizontal (sejajar sumbu-x).
• Gradien tak terdefinisi: terjadi ketika $x_1 = x_2$, karena penyebut $x_2-x_1=0$. Garis berupa garis vertikal (sejajar sumbu-y).

Contoh

Contoh 1 (gradien positif): Tentukan gradien garis yang melalui titik $(2, 3)$ dan $(5, 9)$.

Penyelesaian: $m = \frac{9-3}{5-2} = \frac{6}{3} = 2$ Karena $m > 0$, garis naik dari kiri ke kanan.

Contoh 2 (gradien negatif): Tentukan gradien garis yang melalui titik $(1, 7)$ dan $(4, 1)$.

Penyelesaian: $m = \frac{1-7}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2$ Karena $m < 0$, garis turun dari kiri ke kanan.

Contoh 3 (gradien nol): Tentukan gradien garis yang melalui titik $(-3, 4)$ dan $(5, 4)$.

Penyelesaian: $m = \frac{4-4}{5-(-3)} = \frac{0}{8} = 0$ Karena kedua titik memiliki nilai $y$ yang sama, garis berupa garis horizontal.

Contoh 4 (gradien tak terdefinisi): Tentukan gradien garis yang melalui titik $(6, 2)$ dan $(6, 9)$.

Penyelesaian: $m = \frac{9-2}{6-6} = \frac{7}{0}$ Karena penyebutnya nol, gradien garis ini tak terdefinisi. Garis berupa garis vertikal.

Latihan

1. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(3, 1)$ dan $(7, 9)$.
2. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(-2, 6)$ dan $(2, -2)$.
3. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(4, -5)$ dan $(4, 10)$.
4. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(-6, 3)$ dan $(2, 3)$.
5. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(0, 0)$ dan $(-5, 15)$.
6. Sebuah tangga bersandar pada tembok. Ujung bawah tangga berada di $(2, 0)$ dan ujung atasnya di $(0, 6)$ (dalam meter). Tentukan gradien tangga tersebut.

Jawab:

1. $m = \frac{9-1}{7-3} = \frac{8}{4} = 2$
2. $m = \frac{-2-6}{2-(-2)} = \frac{-8}{4} = -2$
3. $m = \frac{10-(-5)}{4-4} = \frac{15}{0}$, tak terdefinisi (garis vertikal).
4. $m = \frac{3-3}{2-(-6)} = \frac{0}{8} = 0$ (garis horizontal).
5. $m = \frac{15-0}{-5-0} = \frac{15}{-5} = -3$
6. $m = \frac{6-0}{0-2} = \frac{6}{-2} = -3$

Kuis Formatif

1. Rumus gradien garis yang melalui titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ adalah …
2. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(1, 2)$ dan $(6, 22)$.
3. Garis yang melalui titik $(-3, 5)$ dan $(-3, -1)$ memiliki gradien …
4. Garis yang melalui titik $(4, 8)$ dan $(10, 8)$ memiliki gradien …
5. Tentukan gradien garis yang melalui titik $(-1, -4)$ dan $(3, 8)$.

Jawaban kunci:

1. $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
2. $m = \frac{22-2}{6-1} = \frac{20}{5} = 4$
3. Tak terdefinisi (garis vertikal, karena $x_1=x_2=-3$).
4. $0$ (garis horizontal, karena $y_1=y_2=8$).
5. $m = \frac{8-(-4)}{3-(-1)} = \frac{12}{4} = 3$

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.