E. Panjang Busur

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan hubungan antara sudut pusat dan panjang busur.
2. Siswa dapat menghitung panjang busur jika sudut pusat dan jari-jari diketahui.
3. Siswa dapat menyelesaikan soal kontekstual menggunakan panjang busur.

Materi

Hubungan Sudut Pusat dan Panjang Busur

Panjang busur sebanding dengan besar sudut pusat yang menghadapnya. Jika sudut pusat $\alpha$ menghadap suatu busur, maka panjang busur tersebut merupakan sebagian dari keliling lingkaran, sesuai perbandingan $\alpha$ terhadap $360°$ (sudut satu lingkaran penuh):

$\text{Panjang busur}=\frac{\alpha}{360°}\times \text{Keliling lingkaran}=\frac{\alpha}{360°}\times 2\pi r$

Mencari Sudut Pusat dari Panjang Busur

Jika panjang busur dan jari-jari diketahui, sudut pusat dapat dicari dengan membalik rumus:

$\alpha=\frac{\text{Panjang busur}}{2\pi r}\times 360°$

Contoh

Contoh 1: Sebuah lingkaran berjari-jari $21$ cm memiliki sudut pusat $60°$. Tentukan panjang busur yang menghadap sudut tersebut.

Penyelesaian: $\text{Panjang busur}=\frac{60°}{360°}\times2\times\frac{22}{7}\times21=\frac{1}{6}\times132=22$ cm.

Contoh 2: Sebuah lingkaran berjari-jari $14$ cm memiliki sudut pusat $90°$. Tentukan panjang busurnya.

Penyelesaian: $\text{Panjang busur}=\frac{90°}{360°}\times2\times\frac{22}{7}\times14=\frac{1}{4}\times88=22$ cm.

Contoh 3 (mencari sudut pusat): Sebuah lingkaran berjari-jari $21$ cm memiliki busur sepanjang $11$ cm. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur tersebut.

Penyelesaian: Keliling $=2\times\frac{22}{7}\times21=132$ cm. $\alpha=\frac{11}{132}\times360°=30°$.

Latihan

1. Lingkaran berjari-jari $28$ cm memiliki sudut pusat $45°$. Tentukan panjang busurnya.

2. Lingkaran berjari-jari $21$ cm memiliki sudut pusat $120°$. Tentukan panjang busurnya.

3. Panjang busur pada lingkaran berjari-jari $14$ cm dengan sudut pusat $180°$ adalah ….

   A. $22$ cm B. $44$ cm C. $66$ cm D. $88$ cm

4. Lingkaran berjari-jari $7$ cm memiliki busur sepanjang $11$ cm. Tentukan besar sudut pusatnya.

5. Jam dinding berbentuk lingkaran berjari-jari $21$ cm. Tentukan panjang lintasan ujung jarum panjang saat bergerak dari angka $12$ ke angka $3$ (seperempat lingkaran, sudut pusat $90°$).

6. Lingkaran berjari-jari $35$ cm memiliki busur sepanjang $55$ cm. Tentukan besar sudut pusatnya.

Jawab:

1. $K=2\times\frac{22}{7}\times28=176$ cm. Busur $=\frac{45}{360}\times176=22$ cm.
2. $K=2\times\frac{22}{7}\times21=132$ cm. Busur $=\frac{120}{360}\times132=44$ cm.
3. B. $K=2\times\frac{22}{7}\times14=88$ cm. Busur $=\frac{180}{360}\times88=44$ cm.
4. $K=2\times\frac{22}{7}\times7=44$ cm. $\alpha=\frac{11}{44}\times360°=90°$.
5. $K=2\times\frac{22}{7}\times21=132$ cm. Busur $=\frac{90}{360}\times132=33$ cm.
6. $K=2\times\frac{22}{7}\times35=220$ cm. $\alpha=\frac{55}{220}\times360°=90°$.

Kuis Formatif

1. Tuliskan rumus panjang busur.
2. Lingkaran berjari-jari $14$ cm memiliki sudut pusat $135°$. Tentukan panjang busurnya. (Petunjuk: $\frac{135}{360}=\frac{3}{8}$.)
3. Lingkaran berjari-jari $9$ cm memiliki sudut pusat $60°$. Tentukan panjang busurnya (gunakan $\pi=3,14$, boleh dibulatkan dua angka desimal).
4. Lingkaran berjari-jari $21$ cm memiliki busur sepanjang $22$ cm. Tentukan besar sudut pusatnya.
5. Jelaskan mengapa panjang busur sebanding dengan besar sudut pusat yang menghadapnya.

Jawaban kunci:

1. Panjang busur $=\frac{\alpha}{360°}\times2\pi r$.
2. $K=2\times\frac{22}{7}\times14=88$ cm. Busur $=\frac{3}{8}\times88=33$ cm.
3. $K=2\times3,14\times9=56,52$ cm. Busur $=\frac{60}{360}\times56,52=9,42$ cm.
4. $K=2\times\frac{22}{7}\times21=132$ cm. $\alpha=\frac{22}{132}\times360°=60°$.
5. Karena keliling lingkaran (busur $360°$) dibagi secara proporsional sesuai besar sudut pusatnya; semakin besar sudut pusat, semakin besar pula bagian keliling (busur) yang dicakupnya.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.