D. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat membedakan sudut pusat dan sudut keliling.
2. Siswa dapat menggunakan hubungan sudut pusat $=2\times$ sudut keliling.
3. Siswa dapat menggunakan sifat sudut keliling yang menghadap diameter.

Materi

Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di titik pusat lingkaran, dibentuk oleh dua jari-jari.

Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran (di tepi lingkaran), dibentuk oleh dua tali busur.

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, berlaku:

$\text{Sudut pusat} = 2 \times \text{sudut keliling}$

Sifat-sifat Tambahan

• Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama.
• Sudut keliling yang menghadap diameter (setengah lingkaran) selalu $90°$ (sudut siku-siku), karena sudut pusat yang menghadap diameter adalah $180°$, sehingga sudut kelilingnya $=\frac{180°}{2}=90°$.

Contoh

Contoh 1: Sudut pusat suatu lingkaran adalah $80°$. Tentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

Penyelesaian: Sudut keliling $=\frac{1}{2}\times80°=40°$.

Contoh 2: Sudut keliling suatu lingkaran adalah $35°$. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

Penyelesaian: Sudut pusat $=2\times35°=70°$.

Contoh 3 (sudut keliling menghadap diameter): Titik $A$, $B$, $C$ terletak pada lingkaran dengan $AC$ sebagai diameter. Tentukan besar $\angle ABC$.

Penyelesaian: Karena $\angle ABC$ adalah sudut keliling yang menghadap diameter $AC$, maka $\angle ABC=90°$.

Latihan

1. Sudut pusat suatu lingkaran adalah $100°$. Tentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.

2. Sudut keliling suatu lingkaran adalah $55°$. Tentukan sudut pusat yang menghadap busur yang sama.

3. Sudut pusat suatu lingkaran adalah $120°$. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah ….

   A. $30°$ B. $60°$ C. $90°$ D. $240°$

4. Dua sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut adalah $42°$, tentukan besar sudut keliling yang lain.

5. Titik $P,Q,R$ pada lingkaran dengan $PR$ sebagai diameter. Jika $\angle PQR=(3x)°$, tentukan nilai $x$.

6. Sudut keliling suatu lingkaran adalah $27°$. Tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama, lalu jelaskan busur tersebut merupakan berapa bagian dari lingkaran penuh ($360°$).

Jawab:

1. $\frac{1}{2}\times100°=50°$.
2. $2\times55°=110°$.
3. B. $\frac{1}{2}\times120°=60°$.
4. Karena menghadap busur yang sama, sudut kelilingnya juga $42°$ (sama besar).
5. Karena menghadap diameter, $\angle PQR=90°$, sehingga $3x=90 \Rightarrow x=30$.
6. Sudut pusat $=2\times27°=54°$. Busur tersebut $=\frac{54°}{360°}=\frac{3}{20}$ bagian dari lingkaran penuh.

Kuis Formatif

1. Apa perbedaan sudut pusat dan sudut keliling?
2. Sudut pusat suatu lingkaran adalah $150°$. Tentukan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
3. Dua sudut keliling menghadap busur yang sama, salah satunya $38°$. Tentukan sudut keliling yang lain.
4. Titik $K,L,M$ pada lingkaran dengan $KM$ sebagai diameter. Jika $\angle KLM=(5x+10)°$, tentukan nilai $x$.
5. Jelaskan mengapa sudut keliling yang menghadap diameter selalu $90°$.

Jawaban kunci:

1. Sudut pusat titik sudutnya di pusat lingkaran, sedangkan sudut keliling titik sudutnya di tepi lingkaran.
2. $\frac{1}{2}\times150°=75°$.
3. $38°$ (sama besar, karena menghadap busur yang sama).
4. Karena menghadap diameter, $\angle KLM=90°$, sehingga $5x+10=90 \Rightarrow 5x=80 \Rightarrow x=16$.
5. Karena sudut pusat yang menghadap diameter besarnya $180°$ (setengah lingkaran), sehingga sudut keliling yang menghadap busur yang sama $=\frac{1}{2}\times180°=90°$.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.