C. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Rasional

Rani menghabiskan $\frac{3}{4}$ bagian kuenya, sedangkan Doni menghabiskan $0{,}7$ bagian. Siapa yang makan lebih banyak? Kalau bentuk bilangannya berbeda, membandingkannya terasa sulit. Triknya sederhana: samakan dulu bentuknya.

Yang akan kamu pelajari

• Menyamakan bentuk pecahan dan desimal sebelum membandingkan.
• Menentukan bilangan rasional yang lebih besar atau lebih kecil.
• Mengurutkan bilangan rasional, termasuk yang bertanda negatif.
• Menemukan bilangan rasional di antara dua bilangan rasional.

Langkah membandingkan

1. Ubah semua bilangan ke bentuk yang sama. Biasanya desimal paling mudah dibandingkan.
2. Bandingkan nilainya. Bilangan negatif tetap lebih kecil daripada nol dan bilangan positif.
3. Tuliskan hasilnya dengan tanda $<$, $>$, atau $=$.

Kembali ke kue tadi: $\frac{3}{4} = 0{,}75$, dan $0{,}75 > 0{,}7$. Jadi Rani makan sedikit lebih banyak.

Perkalian silang

Untuk membandingkan dua pecahan positif tanpa mengubahnya ke desimal, kamu bisa memakai perkalian silang. Untuk $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$, bandingkan $a \times d$ dengan $c \times b$:

• Jika $a \times d > c \times b$, maka $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.
• Jika $a \times d < c \times b$, maka $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$.
• Jika $a \times d = c \times b$, maka kedua pecahan sama besar.

Selalu ada bilangan di antaranya

Di antara dua bilangan bulat yang berurutan, misalnya 1 dan 2, tidak ada bilangan bulat lain. Bilangan rasional berbeda: di antara dua bilangan rasional selalu ada bilangan rasional lain. Salah satunya adalah nilai tengah keduanya:

$\text{nilai tengah} = \frac{a + b}{2}$

Sifat ini disebut sifat kepadatan bilangan rasional.

Kesalahan yang sering terjadi: menganggap $-\frac{1}{4}$ lebih kecil daripada $-0{,}2$ karena “ada angka 4-nya”. Ubah dulu: $-\frac{1}{4} = -0{,}25$. Karena $-0{,}25$ lebih jauh dari nol, nilainya justru lebih kecil: $-0{,}25 < -0{,}2$.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Bandingkan $-\frac{1}{2}$ dan $-0{,}3$.

Ubah ke desimal: $-\frac{1}{2} = -0{,}5$. Bilangan $-0{,}5$ lebih jauh dari nol, jadi $-0{,}5 < -0{,}3$, atau $-\frac{1}{2} < -0{,}3$.

Contoh 2. Bandingkan $\frac{5}{6}$ dan $\frac{7}{9}$ tanpa mengubahnya ke desimal.

Perkalian silang: $5 \times 9 = 45$ dan $7 \times 6 = 42$. Karena $45 > 42$, maka $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$.

Contoh 3. Tentukan sebuah bilangan rasional di antara $\frac{1}{4}$ dan $\frac{1}{2}$.

$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}$

Cek dengan desimal: $0{,}25 < 0{,}375 < 0{,}5$. Benar, $\frac{3}{8}$ berada di antara keduanya.

Contoh 4. Urutkan dari yang terkecil: $0{,}5$, $\frac{2}{3}$, $-0{,}4$, $\frac{1}{2}$.

Ubah ke desimal: $0{,}5$; $0{,}666\ldots$; $-0{,}4$; $0{,}5$. Perhatikan bahwa $0{,}5$ dan $\frac{1}{2}$ sama besar. Jadi urutannya:

$-0{,}4 < 0{,}5 = \frac{1}{2} < \frac{2}{3}$

Ayo berlatih

1. Mana yang lebih besar, $-0{,}2$ atau $-\frac{1}{4}$?
2. Bandingkan $\frac{4}{7}$ dan $\frac{5}{9}$ dengan perkalian silang.
3. Tentukan sebuah bilangan rasional di antara $\frac{1}{3}$ dan $\frac{1}{2}$.
4. Urutkan dari yang terbesar: $-\frac{3}{4}$, $0{,}6$, $-0{,}5$, $\frac{2}{5}$.
5. Urutkan dari yang terkecil: $-1{,}2$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{1}{2}$, $0{,}9$.

Cek pemahamanmu

1. Benarkah $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{2}$? Jelaskan.
2. Tentukan sebuah bilangan rasional di antara $0{,}2$ dan $0{,}3$.
3. Mengapa di antara dua bilangan rasional yang berbeda selalu ada bilangan rasional lain?

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.