A. Pengertian dan Bentuk Bilangan Rasional

“Setengah gelas air”, “diskon 25%”, “tinggi badan 1,5 meter”. Bilangan-bilangan seperti $\frac{1}{2}$, $25\%$, dan $1{,}5$ tidak termasuk bilangan bulat, tetapi sangat sering kita pakai. Semuanya termasuk keluarga besar yang disebut bilangan rasional.

Yang akan kamu pelajari

• Memahami arti bilangan rasional dan bedanya dengan bilangan bulat.
• Mengenali tiga bentuk bilangan rasional: pecahan, desimal, dan persen.
• Membedakan desimal berhenti, desimal berulang, dan bilangan yang bukan rasional.
• Menuliskan bilangan rasional dari situasi sehari-hari.

Apa itu bilangan rasional?

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa ditulis sebagai pecahan $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$.

Kata kuncinya adalah bisa ditulis sebagai pecahan. Jadi, walaupun bentuknya desimal atau persen, selama bisa diubah menjadi pecahan, bilangan itu tetap rasional.

Dari tabel itu terlihat bahwa semua bilangan bulat juga bilangan rasional, karena setiap bilangan bulat bisa ditulis dengan penyebut 1.

Pecahan campuran

Pecahan campuran terdiri atas bagian bulat dan bagian pecahan, misalnya $2\frac{1}{3}$ (dibaca “dua sepertiga”). Untuk mengubahnya menjadi pecahan biasa, kalikan bagian bulat dengan penyebut, lalu tambahkan pembilangnya:

$a\frac{b}{c} = \frac{(a \times c) + b}{c}$

Contohnya, $2\frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Desimal berhenti dan desimal berulang

Kalau sebuah pecahan diubah menjadi desimal, hasilnya bisa berupa salah satu dari dua jenis ini:

• Desimal berhenti: angka di belakang koma ada ujungnya. Contohnya $\frac{3}{4} = 0{,}75$.
• Desimal berulang: angka di belakang koma tidak berhenti, tetapi membentuk pola yang berulang. Contohnya $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ dan $\frac{1}{6} = 0{,}1666\ldots$

Keduanya termasuk bilangan rasional. Lalu, bagaimana dengan desimal yang tidak berhenti dan tidak berpola, seperti $\pi = 3{,}14159\ldots$ atau $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$? Bilangan seperti itu tidak bisa ditulis sebagai pecahan, jadi bukan bilangan rasional.

Kesalahan yang sering terjadi: mengira $\pi$ sama dengan $\frac{22}{7}$. Sebenarnya $\frac{22}{7}$ hanya pendekatan nilai $\pi$ agar mudah dihitung. Nilai $\pi$ yang sebenarnya bukan bilangan rasional.

Hubungan antarhimpunan bilangan

Bilangan asli ($\mathbb{N}$), bilangan bulat ($\mathbb{Z}$), dan bilangan rasional ($\mathbb{Q}$) saling bersarang seperti boneka susun:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Artinya, setiap bilangan asli pasti bilangan bulat, dan setiap bilangan bulat pasti bilangan rasional. Dalam notasi himpunan, bilangan rasional ditulis:

$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} \;\middle|\; a, b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\right\}$

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1. Apakah bilangan berikut termasuk bilangan rasional? a. $-6$ b. $0{,}333\ldots$ c. $\sqrt{5}$

• a. $-6 = \frac{-6}{1}$, jadi rasional.
• b. $0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$, jadi rasional.
• c. $\sqrt{5} = 2{,}2360\ldots$ tidak berhenti dan tidak berpola, sehingga tidak bisa ditulis sebagai pecahan. Jadi bukan rasional.

Contoh 2. Ubah $3\frac{2}{5}$ menjadi pecahan biasa.

$3\frac{2}{5} = \frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{17}{5}$

Contoh 3. Apakah $\frac{5}{6}$ menghasilkan desimal berhenti atau berulang?

Bagi 5 dengan 6: $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots$ Angka 3 terus berulang, jadi termasuk desimal berulang.

Ayo berlatih

1. Tuliskan $\frac{2}{5}$ dalam bentuk desimal dan persen.
2. Tuliskan $120\%$ sebagai pecahan paling sederhana.
3. Mana yang bukan bilangan rasional: $0{,}8$, $-7$, $\frac{9}{2}$, atau $\sqrt{3}$?
4. Ubah $1\frac{3}{4}$ menjadi pecahan biasa.
5. Apakah $\frac{7}{11}$ menghasilkan desimal berhenti atau berulang? Tuliskan tiga angka pertama di belakang koma.
6. Apakah $-8$ termasuk anggota $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, atau $\mathbb{Q}$?

Cek pemahamanmu

1. Ubah $2\frac{3}{8}$ menjadi pecahan biasa.
2. Apakah $0{,}45$ termasuk desimal berhenti atau berulang?
3. Benar atau salah: semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Jelaskan.
4. Mana yang termasuk bilangan rasional, $\sqrt{9}$ atau $\sqrt{7}$? Jelaskan.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.