D. Dilatasi

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian dilatasi (perbesaran/pengecilan).
2. Siswa dapat menentukan bayangan titik hasil dilatasi terhadap titik pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$.
3. Siswa dapat menjelaskan pengaruh nilai $k$ (positif, negatif, lebih dari 1, kurang dari 1) terhadap bayangan.

Materi

Konsep Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun terhadap titik pusat tertentu dengan faktor skala $k$, TANPA mengubah bentuk bangun (bayangan tetap sebangun dengan bangun asli).

Aturan Bayangan Titik terhadap Pusat $O(0,0)$

$(x,y) \xrightarrow{[O,k]} (kx,ky)$

Pengaruh Nilai Faktor Skala $k$

• $k>1$: bangun diperbesar, posisi bayangan searah dengan titik asal terhadap pusat.
• $0<k<1$: bangun diperkecil, posisi bayangan searah dengan titik asal terhadap pusat.
• $k=1$: bayangan sama persis dengan bangun asli (tidak berubah).
• $k<0$: bangun diperbesar/diperkecil (tergantung $|k|$) DAN posisi bayangan berbalik arah (di seberang pusat).

Contoh

Contoh 1: Tentukan bayangan titik $A(3,5)$ oleh dilatasi $[O,2]$ (pusat $O$, faktor skala $2$).

Penyelesaian: $A'(2\times3, 2\times5)=A'(6,10)$.

Contoh 2: Tentukan bayangan titik $B(8,-4)$ oleh dilatasi $\left[O,\frac{1}{2}\right]$.

Penyelesaian: $B'\left(\frac{1}{2}\times8, \frac{1}{2}\times(-4)\right)=B'(4,-2)$.

Contoh 3 (faktor skala negatif): Tentukan bayangan titik $C(4,2)$ oleh dilatasi $[O,-3]$.

Penyelesaian: $C'(-3\times4, -3\times2)=C'(-12,-6)$ (diperbesar 3 kali dan posisi berbalik arah ke seberang pusat).

Latihan

1. Tentukan bayangan titik $P(6,3)$ oleh dilatasi $[O,3]$.

2. Tentukan bayangan titik $Q(10,-6)$ oleh dilatasi $\left[O,\frac{1}{2}\right]$.

3. Bayangan titik $(5,-2)$ oleh dilatasi $[O,-2]$ adalah ….

   A. $(10,-4)$ B. $(-10,4)$ C. $(10,4)$ D. $(-10,-4)$

4. Tentukan bayangan titik $R(-4,9)$ oleh dilatasi $[O,2]$.

5. Segitiga $ABC$ dengan $A(2,1)$, $B(4,1)$, $C(2,3)$ didilatasi $[O,3]$. Tentukan koordinat bayangan ketiga titik tersebut.

6. Jelaskan perbedaan pengaruh dilatasi dengan $k=2$ dibanding $k=-2$ terhadap posisi bayangan.

Jawab:

1. $P'(18,9)$.
2. $Q'(5,-3)$.
3. B. $(-10,4)$.
4. $R'(-8,18)$.
5. $A'(6,3)$, $B'(12,3)$, $C'(6,9)$.
6. Keduanya sama-sama memperbesar bangun 2 kali (karena $|k|=2$ pada keduanya), tetapi $k=2$ menghasilkan bayangan di sisi yang SAMA dengan titik asal terhadap pusat, sedangkan $k=-2$ menghasilkan bayangan di sisi yang BERLAWANAN (seberang pusat).

Kuis Formatif

1. Sebutkan aturan bayangan titik $(x,y)$ oleh dilatasi $[O,k]$.
2. Tentukan bayangan titik $K(9,6)$ oleh dilatasi $\left[O,\frac{1}{3}\right]$.
3. Tentukan bayangan titik $L(-5,4)$ oleh dilatasi $[O,3]$.
4. Apa yang terjadi pada bangun jika didilatasi dengan $k=1$?
5. Jelaskan perbedaan dilatasi dengan $0<k<1$ dan dilatasi dengan $k>1$.

Jawaban kunci:

1. $(x,y) \to (kx,ky)$.
2. $K'(3,2)$.
3. $L'(-15,12)$.
4. Bangun tidak berubah sama sekali (bayangan sama persis dengan bangun asli), karena setiap koordinat dikalikan $1$.
5. Dilatasi dengan $0<k<1$ memperkecil bangun, sedangkan dilatasi dengan $k>1$ memperbesar bangun; keduanya tetap menghasilkan bayangan yang sebangun (sama bentuk) dengan bangun asli.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.