G. Transformasi Bangun Datar

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan bayangan bangun datar hasil transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi).
2. Siswa dapat menentukan luas bangun bayangan hasil dilatasi.
3. Siswa dapat menjelaskan sifat bangun bayangan (kongruen atau sebangun) berdasarkan jenis transformasinya.

Materi

Menentukan Bayangan Bangun Datar

Untuk menentukan bayangan sebuah bangun datar (segitiga, segiempat, dsb), transformasikan setiap titik sudutnya satu per satu menggunakan aturan transformasi yang sesuai, lalu hubungkan titik-titik bayangan tersebut untuk membentuk bangun bayangan.

Sifat Bangun Bayangan

• Translasi, refleksi, rotasi: bangun bayangan selalu kongruen (sama bentuk dan ukuran) dengan bangun asli.
• Dilatasi: bangun bayangan selalu sebangun dengan bangun asli (bentuk sama, ukuran berubah sesuai faktor skala $k$), KECUALI jika $k=1$ atau $k=-1$ (barulah kongruen).

Pengaruh Dilatasi terhadap Luas

Jika bangun didilatasi dengan faktor skala $k$, maka luas bayangannya menjadi $k^2$ kali luas bangun asli (materi ini berkaitan dengan bab Perubahan Proporsional):

$L_{\text{bayangan}} = k^2 \times L_{\text{asli}}$

Contoh

Contoh 1 (translasi bangun datar): Segitiga $ABC$ dengan $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(3,4)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat bayangannya.

Penyelesaian: $A'(3,4)$, $B'(7,4)$, $C'(5,7)$.

Contoh 2 (refleksi bangun datar): Persegi $PQRS$ dengan $P(1,1)$, $Q(4,1)$, $R(4,4)$, $S(1,4)$ direfleksikan terhadap sumbu-x. Tentukan koordinat bayangannya, lalu simpulkan hubungan bangun asli dan bayangannya.

Penyelesaian: $P'(1,-1)$, $Q'(4,-1)$, $R'(4,-4)$, $S'(1,-4)$. Karena refleksi, bangun bayangan kongruen dengan bangun asli (bentuk dan ukuran tetap sama, hanya posisi berubah).

Contoh 3 (dilatasi dan luas): Segitiga dengan luas $20$ cm² didilatasi dengan faktor skala $k=3$. Tentukan luas bayangannya.

Penyelesaian: $L_{\text{bayangan}}=3^2\times20=9\times20=180$ cm².

Latihan

1. Segitiga $KLM$ dengan $K(2,2)$, $L(6,2)$, $M(4,5)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat bayangannya.

2. Persegi panjang $ABCD$ dengan $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(5,3)$, $D(1,3)$ direfleksikan terhadap sumbu-y. Tentukan koordinat bayangannya.

3. Sebuah bangun didilatasi dengan faktor skala $k=4$. Bangun bayangannya dan bangun asli memiliki hubungan ….

   A. Kongruen B. Sebangun C. Tidak berhubungan D. Sama persis tanpa perubahan

4. Sebuah persegi dengan luas $16$ cm² didilatasi dengan faktor skala $k=\frac{1}{2}$. Tentukan luas bayangannya.

5. Segitiga $PQR$ dengan $P(1,0)$, $Q(3,0)$, $R(2,3)$ dirotasi $180°$ terhadap $O$. Tentukan koordinat bayangannya.

6. Sebuah taman berbentuk segitiga dengan luas $50$ m² akan diperbesar menjadi denah baru dengan faktor skala $k=2$. Tentukan luas denah baru tersebut.

Jawab:

1. $K'(1,4)$, $L'(5,4)$, $M'(3,7)$.
2. $A'(-1,1)$, $B'(-5,1)$, $C'(-5,3)$, $D'(-1,3)$.
3. B.
4. $L=\left(\frac{1}{2}\right)^2\times16=\frac{1}{4}\times16=4$ cm².
5. $P'(-1,0)$, $Q'(-3,0)$, $R'(-2,-3)$.
6. $L=2^2\times50=4\times50=200$ m².

Kuis Formatif

1. Bagaimana cara menentukan bayangan bangun datar akibat suatu transformasi?
2. Jenis transformasi manakah yang menghasilkan bangun bayangan kongruen dengan bangun aslinya?
3. Segitiga $ABC$ dengan luas $12$ cm² didilatasi dengan faktor skala $k=5$. Tentukan luas bayangannya.
4. Persegi $KLMN$ dengan $K(1,1)$, $L(3,1)$, $M(3,3)$, $N(1,3)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat bayangannya.
5. Jelaskan mengapa dilatasi (kecuali $k=\pm1$) menghasilkan bangun sebangun, bukan kongruen.

Jawaban kunci:

1. Transformasikan setiap titik sudut bangun tersebut satu per satu sesuai aturan transformasi, lalu hubungkan titik-titik bayangannya.
2. Translasi, refleksi, dan rotasi.
3. $L=5^2\times12=25\times12=300$ cm².
4. $K'(5,-1)$, $L'(7,-1)$, $M'(7,1)$, $N'(5,1)$.
5. Karena dilatasi mengubah ukuran bangun (mengalikan setiap koordinat dengan $k$), sehingga panjang sisi-sisinya berubah menjadi $|k|$ kali semula (kecuali $k=\pm1$), meskipun bentuknya (sudut-sudutnya) tetap sama — inilah ciri kesebangunan, bukan kekongruenan yang mensyaratkan ukuran sama persis.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.