F. Transformasi Garis

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan persamaan bayangan garis hasil translasi.
2. Siswa dapat menentukan persamaan bayangan garis hasil refleksi terhadap sumbu-x atau sumbu-y.
3. Siswa dapat menentukan persamaan bayangan garis hasil dilatasi.

Materi

Strategi Umum: Substitusi Balik

Untuk menentukan bayangan sebuah garis, gunakan cara berikut:

1. Misalkan titik $(x,y)$ pada garis asli memiliki bayangan $(x',y')$ sesuai aturan transformasi.
2. Nyatakan $x$ dan $y$ (variabel asli) dalam $x'$ dan $y'$ (variabel bayangan) — ini disebut substitusi balik.
3. Substitusikan $x$ dan $y$ tersebut ke persamaan garis asli, sehingga diperoleh persamaan baru dalam $x'$ dan $y'$ — inilah persamaan bayangan garis (biasanya ditulis kembali dengan $x,y$ untuk kerapian).

Translasi Garis oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Karena $x'=x+a$ dan $y'=y+b$, maka $x=x'-a$ dan $y=y'-b$. Substitusikan ke persamaan garis asli.

Refleksi Garis

• Terhadap sumbu-x: $x'=x$, $y'=-y$, sehingga $x=x'$, $y=-y'$.
• Terhadap sumbu-y: $x'=-x$, $y'=y$, sehingga $x=-x'$, $y=y'$.

Dilatasi Garis $[O,k]$

Karena $x'=kx$ dan $y'=ky$, maka $x=\frac{x'}{k}$ dan $y=\frac{y'}{k}$.

Contoh

Contoh 1 (translasi garis): Tentukan bayangan garis $y=2x+3$ oleh translasi $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

Penyelesaian: $x=x'-1$, $y=y'-2$. Substitusi: $y'-2=2(x'-1)+3 \Rightarrow y'-2=2x'-2+3 \Rightarrow y'=2x'+3$. Jadi bayangannya $y=2x+3$ (persamaan garisnya sama, hanya posisinya bergeser).

Contoh 2 (refleksi garis terhadap sumbu-x): Tentukan bayangan garis $y=3x-4$ oleh refleksi terhadap sumbu-x.

Penyelesaian: $x=x'$, $y=-y'$. Substitusi: $-y'=3x'-4 \Rightarrow y'=-3x'+4$. Jadi bayangannya $y=-3x+4$.

Contoh 3 (dilatasi garis): Tentukan bayangan garis $y=x+2$ oleh dilatasi $[O,2]$.

Penyelesaian: $x=\frac{x'}{2}$, $y=\frac{y'}{2}$. Substitusi: $\frac{y'}{2}=\frac{x'}{2}+2 \Rightarrow y'=x'+4$. Jadi bayangannya $y=x+4$.

Latihan

1. Tentukan bayangan garis $y=x+5$ oleh translasi $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

2. Tentukan bayangan garis $y=4x-2$ oleh refleksi terhadap sumbu-y.

3. Bayangan garis $y=2x+1$ oleh refleksi terhadap sumbu-x adalah ….

   A. $y=2x+1$ B. $y=2x-1$ C. $y=-2x+1$ D. $y=-2x-1$

4. Tentukan bayangan garis $y=2x-6$ oleh dilatasi $[O,3]$.

5. Tentukan bayangan garis $2x+y=8$ oleh translasi $\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

6. Jelaskan langkah umum “substitusi balik” untuk menentukan bayangan garis akibat suatu transformasi.

Jawab:

1. $x=x'-2$, $y=y'+1$. Substitusi: $y'+1=(x'-2)+5 \Rightarrow y'=x'+2$. Bayangan: $y=x+2$.
2. $x=-x'$, $y=y'$. Substitusi: $y'=4(-x')-2 \Rightarrow y'=-4x'-2$. Bayangan: $y=-4x-2$.
3. D. $x=x'$, $y=-y'$. Substitusi: $-y'=2x'+1 \Rightarrow y'=-2x'-1$.
4. $x=\frac{x'}{3}$, $y=\frac{y'}{3}$. Substitusi: $\frac{y'}{3}=2\left(\frac{x'}{3}\right)-6 \Rightarrow \frac{y'}{3}=\frac{2x'}{3}-6 \Rightarrow y'=2x'-18$. Bayangan: $y=2x-18$.
5. $x=x'+3$, $y=y'-1$. Substitusi: $2(x'+3)+(y'-1)=8 \Rightarrow 2x'+6+y'-1=8 \Rightarrow 2x'+y'=3$. Bayangan: $2x+y=3$.
6. Misalkan titik pada garis asli $(x,y)$ dan bayangannya $(x',y')$ sesuai aturan transformasi; nyatakan $x,y$ dalam $x',y'$, lalu substitusikan ke persamaan garis asli untuk mendapatkan persamaan garis bayangan dalam $x',y'$.

Kuis Formatif

1. Sebutkan langkah umum menentukan bayangan garis akibat transformasi.
2. Tentukan bayangan garis $y=3x+1$ oleh translasi $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
3. Tentukan bayangan garis $y=5x-3$ oleh refleksi terhadap sumbu-x.
4. Tentukan bayangan garis $y=x-4$ oleh dilatasi $[O,2]$.
5. Mengapa bayangan garis akibat translasi sering memiliki gradien yang SAMA dengan garis aslinya?

Jawaban kunci:

1. Nyatakan $x,y$ dalam $x',y'$ berdasarkan aturan transformasi, lalu substitusikan ke persamaan garis asli.
2. $x=x'-1$, $y=y'-4$. Substitusi: $y'-4=3(x'-1)+1 \Rightarrow y'=3x'+2$. Bayangan: $y=3x+2$.
3. $x=x'$, $y=-y'$. Substitusi: $-y'=5x'-3 \Rightarrow y'=-5x'+3$. Bayangan: $y=-5x+3$.
4. $x=\frac{x'}{2}$, $y=\frac{y'}{2}$. Substitusi: $\frac{y'}{2}=\frac{x'}{2}-4 \Rightarrow y'=x'-8$. Bayangan: $y=x-8$.
5. Karena translasi hanya menggeser posisi garis tanpa memutar atau mengubah kemiringannya, sehingga arah/kemiringan (gradien) garis tetap sama, hanya titik potong sumbu-y yang bisa berubah.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.