E. Transformasi Titik

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menggabungkan keempat jenis transformasi (translasi, refleksi, rotasi, dilatasi) pada sebuah titik.
2. Siswa dapat menentukan bayangan titik hasil transformasi gabungan (berurutan).
3. Siswa dapat menentukan koordinat titik asal jika bayangannya diketahui.

Materi

Ringkasan Keempat Transformasi Dasar

• Translasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$: $(x,y)\to(x+a,y+b)$.
• Refleksi: tergantung sumbu cerminnya (sumbu-x, sumbu-y, $O$, $y=x$, atau $y=-x$).
• Rotasi terhadap $O$: tergantung sudut ($90°$, $180°$, $270°$).
• Dilatasi $[O,k]$: $(x,y)\to(kx,ky)$.

Transformasi Gabungan (Berurutan)

Jika sebuah titik mengalami LEBIH DARI SATU transformasi secara berurutan, kerjakan transformasi PERTAMA lebih dulu untuk mendapatkan bayangan sementara, lalu terapkan transformasi KEDUA pada bayangan sementara tersebut. Urutan pengerjaan SANGAT PENTING dan tidak boleh dibalik sembarangan.

Contoh

Contoh 1 (translasi lalu refleksi): Titik $A(2,3)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, kemudian direfleksikan terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan akhirnya.

Penyelesaian:

• Translasi: $A'(2+4,3+1)=A'(6,4)$.
• Refleksi terhadap sumbu-x: $A''(6,-4)$.

Contoh 2 (rotasi lalu dilatasi): Titik $B(3,2)$ dirotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam terhadap $O$, kemudian didilatasi $[O,2]$. Tentukan bayangan akhirnya.

Penyelesaian:

• Rotasi $90°$: $B'(-2,3)$ (aturan $(x,y)\to(-y,x)$).
• Dilatasi $[O,2]$: $B''(-4,6)$.

Contoh 3 (mencari titik asal): Titik $C$ direfleksikan terhadap sumbu-y menghasilkan bayangan $C'(-7,5)$. Tentukan koordinat titik $C$ semula.

Penyelesaian: Karena refleksi sumbu-y mengubah $(x,y)\to(-x,y)$, maka jika bayangannya $(-7,5)$, titik asal $C$ memiliki $-x=-7 \Rightarrow x=7$ dan $y=5$. Jadi $C(7,5)$.

Latihan

1. Titik $P(1,4)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, lalu direfleksikan terhadap sumbu-y. Tentukan bayangan akhirnya.

2. Titik $Q(5,-2)$ dirotasi $180°$ terhadap $O$, lalu didilatasi $[O,3]$. Tentukan bayangan akhirnya.

3. Titik $R(4,6)$ direfleksikan terhadap sumbu-x, lalu ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Bayangan akhirnya adalah ….

   A. $(3,-4)$ B. $(3,-8)$ C. $(5,-4)$ D. $(5,4)$

4. Titik $S$ didilatasi $[O,2]$ menghasilkan bayangan $S'(10,-6)$. Tentukan koordinat titik $S$ semula.

5. Titik $T(2,-5)$ direfleksikan terhadap garis $y=x$, lalu dirotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam terhadap $O$. Tentukan bayangan akhirnya.

6. Jelaskan mengapa urutan pengerjaan pada transformasi gabungan tidak boleh dibalik sembarangan (berikan alasan konseptual, tidak perlu contoh angka).

Jawab:

1. Translasi: $(1+2,4-3)=(3,1)$. Refleksi sumbu-y: $(-3,1)$.
2. Rotasi $180°$: $(-5,2)$. Dilatasi $[O,3]$: $(-15,6)$.
3. A. Refleksi sumbu-x: $(4,-6)$. Translasi: $(4-1,-6+2)=(3,-4)$.
4. Karena dilatasi $[O,2]$ berarti $(2x,2y)=(10,-6)$, maka $x=5,y=-3$. Titik asal $S(5,-3)$.
5. Refleksi $y=x$: $(-5,2)$. Rotasi $90°$: $(-2,-5)$.
6. Karena hasil transformasi kedua bergantung pada posisi bayangan dari transformasi pertama; jika urutan dibalik, titik yang ditransformasikan pada langkah kedua berbeda posisinya, sehingga bayangan akhirnya juga bisa berbeda.

Kuis Formatif

1. Sebutkan keempat jenis transformasi dasar.
2. Titik $K(3,1)$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, lalu dirotasi $180°$ terhadap $O$. Tentukan bayangan akhirnya.
3. Titik $L(6,-2)$ direfleksikan terhadap sumbu-x, lalu didilatasi $[O,2]$. Tentukan bayangan akhirnya.
4. Titik $M$ ditranslasikan oleh $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $M'(8,2)$. Tentukan koordinat titik $M$ semula.
5. Mengapa transformasi gabungan harus dikerjakan bertahap (satu per satu), bukan sekaligus?

Jawaban kunci:

1. Translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
2. Translasi: $(8,3)$. Rotasi $180°$: $(-8,-3)$.
3. Refleksi sumbu-x: $(6,2)$. Dilatasi $[O,2]$: $(12,4)$.
4. $x+3=8 \Rightarrow x=5$; $y-1=2 \Rightarrow y=3$. Titik asal $M(5,3)$.
5. Karena setiap transformasi memiliki aturan tersendiri yang hanya berlaku untuk posisi titik SAAT ITU; hasil dari transformasi pertama menjadi titik awal untuk transformasi berikutnya, sehingga harus dikerjakan berurutan agar hasilnya benar.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.