C. Konsep Fungsi

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian fungsi sebagai relasi khusus.
2. Siswa dapat membedakan relasi yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi.
3. Siswa dapat menggunakan uji garis vertikal untuk mengenali fungsi dari grafik.

Materi

Pengertian Fungsi

Fungsi (pemetaan) adalah relasi khusus dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dengan syarat: setiap anggota domain ($A$) memiliki tepat satu pasangan di kodomain ($B$).

Artinya:

• Tidak boleh ada anggota domain yang tidak punya pasangan.
• Tidak boleh ada anggota domain yang punya lebih dari satu pasangan.

(Catatan: anggota kodomain BOLEH memiliki lebih dari satu “asal” dari domain, atau bahkan tidak punya pasangan sama sekali — yang dibatasi hanya dari sisi domain.)

Menguji relasi lewat diagram panah

Dari diagram panah, suatu relasi adalah fungsi jika dan hanya jika setiap titik pada domain memiliki tepat satu anak panah keluar (tidak nol, tidak lebih dari satu).

Uji garis vertikal (untuk grafik)

Pada diagram Kartesius atau grafik, suatu relasi adalah fungsi jika setiap garis vertikal yang ditarik memotong grafik di paling banyak satu titik. Jika ada garis vertikal yang memotong grafik di lebih dari satu titik, maka relasi tersebut bukan fungsi.

Contoh

Contoh 1: Diagram panah menunjukkan $A=\{1,2,3\}$ dengan setiap anggota memiliki tepat satu anak panah ke $B=\{a,b,c\}$: $1\to a$, $2\to b$, $3\to c$. Apakah ini fungsi?

Penyelesaian: Ya, ini fungsi, karena setiap anggota domain punya tepat satu pasangan.

Contoh 2: Relasi $\{(1,2), (1,3), (2,4)\}$ — apakah ini fungsi?

Penyelesaian: Bukan fungsi, karena anggota domain $1$ memiliki dua pasangan ($2$ dan $3$), melanggar syarat “tepat satu”.

Contoh 3: Relasi $\{(1,5), (2,5), (3,6)\}$ — apakah ini fungsi?

Penyelesaian: Ya, fungsi, karena setiap anggota domain ($1,2,3$) masing-masing punya tepat satu pasangan (boleh saja $1$ dan $2$ sama-sama menuju $5$; yang penting dari sisi domain tidak dobel).

Latihan

1. Relasi $\{(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)\}$ — apakah ini fungsi? Jelaskan.

2. Relasi $\{(2,4), (2,6), (3,9)\}$ — apakah ini fungsi? Jelaskan.

3. Manakah dari relasi berikut yang MERUPAKAN fungsi?

   A. $\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$ B. $\{(1,2),(2,2),(3,4)\}$ C. $\{(1,2),(1,4)\}$ D. $\{(1,2),(2,3),(2,5)\}$

4. Jelaskan mengapa relasi “akar kuadrat dari” pada bilangan positif (misal $4$ punya akar $2$ dan $-2$) BUKAN fungsi jika kedua akar dianggap pasangannya.

5. Sebuah diagram panah menunjukkan domain $\{1,2,3\}$ tetapi anggota $3$ tidak memiliki anak panah ke manapun. Apakah relasi ini fungsi? Jelaskan.

6. Jelaskan uji garis vertikal dan kegunaannya.

Jawab:

1. Ya, fungsi. Setiap anggota domain ($1,2,3,4$) masing-masing tepat satu pasangan.
2. Bukan fungsi, karena domain $2$ memiliki dua pasangan ($4$ dan $6$).
3. B. Setiap anggota domain ($1,2,3$) punya tepat satu pasangan (boleh kodomain $2$ dipakai dua kali, itu tidak melanggar aturan).
4. Karena angka $4$ (sebagai domain) akan memiliki dua pasangan sekaligus ($2$ dan $-2$), melanggar syarat “tepat satu pasangan” untuk fungsi.
5. Bukan fungsi, karena ada anggota domain ($3$) yang tidak memiliki pasangan sama sekali.
6. Uji garis vertikal adalah cara memeriksa fungsi dari grafik: jika ada garis vertikal yang memotong grafik lebih dari satu titik, relasi itu bukan fungsi (karena berarti satu nilai $x$ punya lebih dari satu pasangan $y$). Berguna untuk mengecek fungsi secara visual dari grafik tanpa menghitung satu-satu.

Kuis Formatif

1. Sebutkan syarat suatu relasi disebut fungsi.
2. Relasi $\{(1,3),(2,3),(3,3)\}$ — apakah ini fungsi? Jelaskan.
3. Relasi $\{(1,2),(2,3),(1,4)\}$ — apakah ini fungsi? Jelaskan.
4. Jelaskan uji garis vertikal untuk mengenali fungsi dari grafik.
5. Apakah kodomain boleh memiliki anggota yang tidak dipasangkan dengan domain manapun pada suatu fungsi? Jelaskan.

Jawaban kunci:

1. Setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan di kodomain (tidak boleh kosong, tidak boleh lebih dari satu).
2. Ya, fungsi. Setiap domain ($1,2,3$) masing-masing tepat satu pasangan (boleh menuju kodomain yang sama, yaitu $3$).
3. Bukan fungsi, karena domain $1$ memiliki dua pasangan ($2$ dan $4$).
4. Jika setiap garis vertikal memotong grafik di paling banyak satu titik, maka grafik tersebut adalah fungsi; jika ada garis vertikal yang memotong lebih dari satu titik, bukan fungsi.
5. Boleh. Syarat “tepat satu pasangan” hanya berlaku untuk anggota domain, bukan kodomain; kodomain boleh punya anggota yang tidak terpakai sama sekali.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.