B. Menyajikan Relasi

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menyajikan relasi dengan diagram panah.
2. Siswa dapat menyajikan relasi dengan himpunan pasangan berurutan.
3. Siswa dapat menyajikan relasi dengan diagram Kartesius.

Materi

Ada tiga cara umum untuk menyajikan sebuah relasi:

1. Diagram Panah

Domain dan kodomain digambar sebagai dua kelompok (oval) berisi anggotanya masing-masing, lalu anak panah ditarik dari setiap anggota domain ke anggota kodomain yang berelasi dengannya.

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi dituliskan sebagai kumpulan pasangan $(x,y)$, dengan $x$ anggota domain dan $y$ anggota kodomain yang berelasi. Contoh: $\{(1,2), (2,4), (3,6)\}$.

3. Diagram Kartesius

Setiap pasangan $(x,y)$ digambarkan sebagai sebuah titik pada bidang koordinat, dengan sumbu-x mewakili domain dan sumbu-y mewakili kodomain.

Ketiga cara ini menyajikan informasi yang sama, hanya bentuk penyajiannya yang berbeda.

Contoh

Contoh 1: Diketahui $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{2,4,6\}$ dengan relasi “dua kali dari”. Sajikan sebagai himpunan pasangan berurutan.

Penyelesaian:

• $1 \to 2$, $2 \to 4$, $3 \to 6$.
• Himpunan pasangan berurutan: $\{(1,2), (2,4), (3,6)\}$.

Contoh 2: Sajikan relasi pada Contoh 1 dengan diagram panah.

Penyelesaian:

• Gambar dua oval: oval kiri berisi $1,2,3$ (domain $A$), oval kanan berisi $2,4,6$ (kodomain $B$).
• Tarik anak panah: dari $1$ ke $2$, dari $2$ ke $4$, dari $3$ ke $6$.

Contoh 3: Sajikan relasi pada Contoh 1 dengan diagram Kartesius.

Penyelesaian:

• Plot titik $(1,2)$, $(2,4)$, dan $(3,6)$ pada bidang koordinat, dengan sumbu-x untuk domain dan sumbu-y untuk kodomain.

Latihan

1. Diketahui $A=\{2,3,4\}$ dan $B=\{4,9,16\}$, relasi “kuadrat dari”. Sajikan sebagai himpunan pasangan berurutan.

2. Diketahui himpunan pasangan berurutan $\{(1,3), (2,5), (3,7)\}$. Sebutkan domain dan kodomain (range)-nya.

3. Himpunan pasangan berurutan $\{(1,2), (2,3), (3,4)\}$ menyatakan relasi ….

   A. Kuadrat dari B. Setengah dari C. Satu lebihnya dari D. Dua kali dari

4. Gambarkan (jelaskan langkahnya) diagram panah untuk relasi $\{(1,1), (2,4), (3,9)\}$.

5. Ubahlah relasi “faktor dari” dari $A=\{2,3\}$ ke $B=\{2,3,4,6\}$ menjadi himpunan pasangan berurutan.

6. Jelaskan mengapa ketiga cara penyajian relasi (diagram panah, pasangan berurutan, diagram Kartesius) dianggap ekuivalen (setara).

Jawab:

1. $\{(2,4), (3,9), (4,16)\}$.
2. Domain $=\{1,2,3\}$, range $=\{3,5,7\}$.
3. C. Setiap anggota kodomain adalah domain ditambah 1: $1+1=2$, $2+1=3$, $3+1=4$.
4. Buat oval domain $\{1,2,3\}$ dan oval kodomain $\{1,4,9\}$, lalu tarik panah $1\to1$, $2\to4$, $3\to9$.
5. $2$ adalah faktor dari $2,4,6$; $3$ adalah faktor dari $3,6$. Himpunan pasangan berurutan: $\{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6)\}$.
6. Karena ketiganya menyampaikan informasi pasangan domain-kodomain yang sama persis, hanya berbeda bentuk visual/notasi penyajiannya.

Kuis Formatif

1. Sebutkan tiga cara menyajikan relasi.
2. Diketahui $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{3,4,5\}$, relasi “dua lebihnya dari”. Sajikan sebagai himpunan pasangan berurutan.
3. Diketahui himpunan pasangan berurutan $\{(2,4), (3,6), (4,8)\}$. Sebutkan domain dan range-nya.
4. Bagaimana cara menyajikan relasi dengan diagram Kartesius?
5. Sebutkan satu kelebihan menyajikan relasi dengan diagram panah dibanding himpunan pasangan berurutan.

Jawaban kunci:

1. Diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Kartesius.
2. $\{(1,3), (2,4), (3,5)\}$.
3. Domain $=\{2,3,4\}$, range $=\{4,6,8\}$.
4. Setiap pasangan $(x,y)$ digambarkan sebagai titik pada bidang koordinat.
5. Diagram panah memudahkan melihat secara visual apakah ada anggota domain yang tidak berpasangan atau berpasangan lebih dari satu, yang berguna untuk membedakan relasi biasa dengan fungsi.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.