A. Konsep Relasi

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan pengertian relasi antara dua himpunan.
2. Siswa dapat mengidentifikasi domain dan kodomain suatu relasi.
3. Siswa dapat memberikan contoh relasi dalam kehidupan sehari-hari.

Materi

Pengertian Relasi

Relasi adalah aturan atau hubungan yang mengaitkan anggota suatu himpunan (disebut domain, dilambangkan $A$) dengan anggota himpunan lain (disebut kodomain, dilambangkan $B$).

Sebuah relasi bisa dinyatakan dengan kalimat seperti “lebih dari”, “faktor dari”, “kuadrat dari”, atau “kurang satu dari”.

Domain dan Kodomain

• Domain: himpunan asal (semua anggota yang mungkin memiliki pasangan).
• Kodomain: himpunan kawan (semua anggota yang mungkin menjadi pasangan).
• Range (daerah hasil): anggota kodomain yang benar-benar mendapat pasangan dari domain (bisa jadi hanya sebagian dari kodomain).

Ciri relasi (bukan fungsi)

Dalam relasi biasa, satu anggota domain boleh berelasi dengan lebih dari satu anggota kodomain, atau bahkan tidak berelasi sama sekali dengan anggota manapun. Ini berbeda dengan fungsi (dibahas pada submateri berikutnya) yang punya aturan lebih ketat.

Contoh

Contoh 1: Diketahui $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{2,3,4,5,6\}$, dengan relasi “faktor dari” dari $A$ ke $B$. Tentukan pasangan-pasangannya.

Penyelesaian:

• $1$ adalah faktor dari $2,3,4,5,6$ (semua anggota $B$).
• $2$ adalah faktor dari $2,4,6$.
• $3$ adalah faktor dari $3,6$.

Contoh 2: Diketahui $A=\{2,3,5\}$ dan $B=\{4,9,25,10\}$, dengan relasi “kuadrat dari” dari $A$ ke $B$. Tentukan pasangan-pasangannya.

Penyelesaian:

• $2$ berelasi dengan $4$ (karena $2^2=4$).
• $3$ berelasi dengan $9$ (karena $3^2=9$).
• $5$ berelasi dengan $25$ (karena $5^2=25$).
• $10$ pada himpunan $B$ tidak berpasangan dengan anggota manapun di $A$ (bukan bagian dari range).

Contoh 3: Tentukan domain dan kodomain dari relasi pada Contoh 2.

Penyelesaian:

• Domain $= A = \{2,3,5\}$.
• Kodomain $= B = \{4,9,25,10\}$.
• Range (yang benar-benar terpakai) $= \{4,9,25\}$.

Latihan

1. Diketahui $A=\{1,2,3,4\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, relasi “dua kali dari” dari $A$ ke $B$. Tentukan pasangan-pasangannya.

2. Sebutkan domain dan kodomain dari relasi pada nomor 1.

3. Relasi “lebih dari” dari $A=\{3,5,7\}$ ke $B=\{1,2,3,4,5\}$ menghasilkan pasangan-pasangan berikut, KECUALI ….

   A. $(3,1)$ B. $(3,4)$ C. $(5,2)$ D. $(7,5)$

4. Berikan satu contoh relasi dari kehidupan sehari-hari (selain contoh di atas), sebutkan domain dan kodomainnya.

5. Diketahui $A=\{2,4,6\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, relasi “setengah dari” dari $A$ ke $B$. Tentukan pasangan-pasangannya.

6. Jelaskan perbedaan antara kodomain dan range.

Jawab:

1. $1\to2$, $2\to4$, $3\to6$, $4\to8$.
2. Domain $=\{1,2,3,4\}$, kodomain $=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.
3. B. $(3,1)$: $3>1$ (valid). $(3,4)$: $3>4$ salah, bukan pasangan relasi ini. $(5,2)$: $5>2$ (valid). $(7,5)$: $7>5$ (valid). Jadi $(3,4)$ adalah pengecualiannya.
4. Beragam sesuai jawaban siswa, misalnya relasi “beribu kota” dari himpunan negara ke himpunan kota.
5. $2\to1$, $4\to2$, $6\to3$.
6. Kodomain adalah seluruh himpunan kawan yang mungkin menjadi pasangan (ditentukan di awal), sedangkan range adalah bagian dari kodomain yang benar-benar mendapat pasangan dari domain.

Kuis Formatif

1. Apa yang dimaksud dengan domain dan kodomain?
2. Diketahui $A=\{1,2,3\}$ dan $B=\{1,4,9,16\}$, relasi “kuadrat dari”. Tentukan pasangan-pasangannya.
3. Apa perbedaan range dan kodomain?
4. Berikan satu contoh relasi “faktor dari” dengan domain dan kodomain buatanmu sendiri.
5. Mengapa dalam relasi biasa satu anggota domain boleh memiliki lebih dari satu pasangan?

Jawaban kunci:

1. Domain adalah himpunan asal, kodomain adalah himpunan kawan yang menjadi tujuan relasi.
2. $1\to1$, $2\to4$, $3\to9$; $16$ tidak berpasangan.
3. Range adalah bagian kodomain yang benar-benar terpakai (mendapat pasangan), sedangkan kodomain adalah keseluruhan himpunan kawan yang ditentukan di awal (termasuk yang tidak terpakai).
4. Beragam sesuai jawaban siswa.
5. Karena relasi hanya berupa aturan hubungan biasa, tidak ada syarat “tepat satu pasangan” seperti pada fungsi.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.