D. Aplikasi Teorema Pythagoras

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menerapkan Teorema Pythagoras pada bangun datar (persegi, persegi panjang, belah ketupat).
2. Siswa dapat menerapkan Teorema Pythagoras dalam soal kontekstual sehari-hari.
3. Siswa dapat mengidentifikasi segitiga siku-siku tersembunyi dalam suatu bangun.

Materi

Diagonal Persegi dan Persegi Panjang

Diagonal persegi panjang membentuk segitiga siku-siku dengan panjang dan lebarnya sebagai dua sisi siku-siku. Untuk persegi panjang dengan panjang $p$ dan lebar $l$, panjang diagonal $d=\sqrt{p^2+l^2}$. Untuk persegi dengan sisi $s$, diagonal $d=\sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt{2}$.

Diagonal Belah Ketupat

Kedua diagonal belah ketupat saling tegak lurus dan membagi dua sama panjang, sehingga membentuk 4 segitiga siku-siku kongruen. Jika diagonal-diagonalnya $d_1$ dan $d_2$, panjang sisi belah ketupat $s=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}$.

Soal Kontekstual

Teorema Pythagoras sering dipakai pada situasi: tangga bersandar pada tembok, kapal berlayar membentuk lintasan siku-siku, jarak terpendek antar dua titik yang tidak segaris lurus, dan tinggi layang-layang.

Contoh

Contoh 1 (diagonal persegi panjang): Sebuah lapangan berbentuk persegi panjang berukuran $30$ m $\times$ $40$ m. Tentukan panjang diagonalnya.

Penyelesaian: $d=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50$ m.

Contoh 2 (diagonal belah ketupat): Sebuah belah ketupat memiliki diagonal $16$ cm dan $12$ cm. Tentukan panjang sisi belah ketupat.

Penyelesaian: $s=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ cm (setengah dari $16$ adalah $8$, setengah dari $12$ adalah $6$).

Contoh 3 (soal kontekstual): Dua kapal berlayar dari pelabuhan yang sama; kapal A ke arah utara sejauh $9$ km, kapal B ke arah timur sejauh $12$ km. Tentukan jarak antara kedua kapal.

Penyelesaian: Karena arah utara dan timur saling tegak lurus, jarak keduanya $=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ km.

Latihan

1. Sebuah lapangan persegi panjang berukuran $18$ m $\times$ $24$ m. Tentukan panjang diagonalnya.

2. Sebuah persegi memiliki sisi $7$ cm. Tentukan panjang diagonalnya (boleh dalam bentuk akar).

3. Belah ketupat dengan diagonal $6$ cm dan $8$ cm memiliki panjang sisi ….

   A. $5$ cm B. $7$ cm C. $10$ cm D. $14$ cm

4. Sebuah tangga sepanjang $13$ m disandarkan pada dinding tegak lurus. Jika jarak kaki tangga ke dinding adalah $5$ m, berapa tinggi ujung tangga pada dinding?

5. Dua sepeda motor berangkat dari titik yang sama; motor A ke arah selatan sejauh $8$ km, motor B ke arah barat sejauh $6$ km. Tentukan jarak kedua motor.

6. Sebuah layang-layang memiliki tali sepanjang $25$ m. Jika jarak mendatar dari orang yang memegang tali ke titik tepat di bawah layang-layang adalah $15$ m, berapa tinggi layang-layang dari tanah? (asumsi tali lurus)

Jawab:

1. $d=\sqrt{18^2+24^2}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$ m.
2. $d=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$ cm.
3. A. $s=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ cm.
4. $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ m.
5. $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$ km.
6. $h=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20$ m.

Kuis Formatif

1. Tuliskan rumus diagonal persegi panjang dengan panjang $p$ dan lebar $l$.
2. Sebuah persegi panjang berukuran $20$ m $\times$ $21$ m. Tentukan diagonalnya.
3. Belah ketupat dengan diagonal $10$ cm dan $24$ cm memiliki panjang sisi berapa?
4. Dua orang berjalan dari titik yang sama; orang pertama ke utara sejauh $7$ km, orang kedua ke timur sejauh $24$ km. Tentukan jarak keduanya.
5. Jelaskan mengapa diagonal belah ketupat bisa dipakai untuk mencari panjang sisinya menggunakan Teorema Pythagoras.

Jawaban kunci:

1. $d=\sqrt{p^2+l^2}$.
2. $d=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29$ m.
3. $s=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
4. $\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ km.
5. Karena kedua diagonal belah ketupat saling tegak lurus dan berpotongan di tengah-tengah, sehingga membentuk 4 segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah setengah diagonal dan sisi belah ketupat sebagai hipotenusa.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.