D. Kerucut Luas Permukaan

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menyebutkan unsur-unsur kerucut, termasuk garis pelukis.
2. Siswa dapat menghitung garis pelukis kerucut menggunakan Teorema Pythagoras.
3. Siswa dapat menghitung luas permukaan kerucut.

Materi

Unsur-Unsur Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah lingkaran (alas) dan sebuah selimut lengkung yang mengerucut ke satu titik (titik puncak). Unsur-unsurnya:

• Alas: lingkaran dengan jari-jari $r$.
• Tinggi ($t$): jarak tegak lurus dari titik puncak ke pusat alas.
• Garis pelukis ($s$): jarak dari titik puncak ke sembarang titik pada tepi lingkaran alas (sisi miring kerucut).

Hubungan $r$, $t$, dan $s$ (Teorema Pythagoras)

Jari-jari, tinggi, dan garis pelukis membentuk segitiga siku-siku, sehingga:

$s=\sqrt{r^2+t^2}$

Rumus Luas Permukaan Kerucut

Luas permukaan kerucut terdiri dari luas alas (lingkaran) dan luas selimut (berbentuk juring lingkaran jika dibentangkan):

$L=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)$

Contoh

Contoh 1: Sebuah kerucut memiliki jari-jari $6$ cm dan tinggi $8$ cm. Tentukan garis pelukisnya.

Penyelesaian: $s=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ cm.

Contoh 2: Menggunakan hasil Contoh 1, tentukan luas permukaan kerucut tersebut ($\pi=3,14$).

Penyelesaian: $L=\pi r(r+s)=3,14\times6\times(6+10)=18,84\times16=301,44$ cm².

Contoh 3 (garis pelukis diketahui): Sebuah kerucut memiliki jari-jari $7$ cm dan garis pelukis $25$ cm. Tentukan tinggi kerucut tersebut, lalu hitung luas permukaannya.

Penyelesaian: $t=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$ cm. $L=\pi r(r+s)=\frac{22}{7}\times7\times(7+25)=22\times32=704$ cm².

Latihan

1. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $9$ cm dan tinggi $12$ cm. Tentukan garis pelukisnya.

2. Menggunakan hasil nomor 1, tentukan luas permukaan kerucut tersebut ($\pi=3,14$).

3. Rumus luas permukaan kerucut adalah ….

   A. $\pi r^2$ B. $\pi rs$ C. $\pi r(r+s)$ D. $2\pi r(r+t)$

4. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $10$ cm dan garis pelukis $26$ cm. Tentukan tingginya.

5. Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki jari-jari $7$ cm dan tinggi $24$ cm. Tentukan luas kertas yang dibutuhkan untuk membuat topi tersebut (selimut saja, tanpa alas, karena bagian bawah topi terbuka).

6. Luas permukaan kerucut adalah $282,6$ cm² dengan jari-jari $6$ cm dan garis pelukis $9$ cm. Periksa apakah nilai tersebut benar menggunakan $\pi=3,14$.

Jawab:

1. $s=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.
2. $L=3,14\times9\times(9+15)=28,26\times24=678,24$ cm².
3. C.
4. $t=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$ cm.
5. $s=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ cm. Luas selimut $=\pi rs=\frac{22}{7}\times7\times25=550$ cm².
6. $L=\pi r(r+s)=3,14\times6\times(6+9)=18,84\times15=282,6$ cm². Benar, sesuai.

Kuis Formatif

1. Tuliskan rumus garis pelukis kerucut dalam $r$ dan $t$.
2. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $5$ cm dan tinggi $12$ cm. Tentukan garis pelukisnya.
3. Tuliskan rumus luas permukaan kerucut.
4. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $9$ cm dan garis pelukis $15$ cm. Tentukan luas permukaannya.
5. Jelaskan mengapa garis pelukis, jari-jari, dan tinggi kerucut membentuk segitiga siku-siku.

Jawaban kunci:

1. $s=\sqrt{r^2+t^2}$.
2. $s=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
3. $L=\pi r(r+s)$.
4. $L=3,14\times9\times(9+15)=28,26\times24=678,24$ cm².
5. Karena tinggi ($t$) tegak lurus terhadap jari-jari alas ($r$) di titik pusat alas, sedangkan garis pelukis ($s$) menghubungkan titik puncak ke tepi lingkaran alas — ketiganya membentuk segitiga siku-siku dengan $s$ sebagai sisi miring.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.