E. Volume Kerucut

Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menjelaskan rumus volume kerucut.
2. Siswa dapat menghitung volume kerucut.
3. Siswa dapat menyelesaikan soal kontekstual menggunakan volume kerucut.

Materi

Rumus Volume Kerucut

Volume kerucut adalah $\frac{1}{3}$ dari volume tabung yang memiliki alas dan tinggi yang sama:

$V=\frac{1}{3}\pi r^2 t$

Mencari Unsur Lain dari Volume

Jika volume dan jari-jari (atau tinggi) diketahui, unsur lainnya dapat dicari dengan membalik rumus:

$t=\frac{3V}{\pi r^2} \qquad \text{atau} \qquad r^2=\frac{3V}{\pi t}$

Contoh

Contoh 1: Sebuah kerucut memiliki jari-jari $7$ cm dan tinggi $12$ cm. Tentukan volumenya.

Penyelesaian: $V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times7^2\times12=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times49\times12=\frac{1}{3}\times22\times7\times12=\frac{1.848}{3}=616$ cm³.

Contoh 2: Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki diameter $14$ cm dan tinggi $24$ cm. Tentukan volume ruang di dalam topi tersebut.

Penyelesaian: $r=7$ cm. $V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times7^2\times24=\frac{1}{3}\times22\times7\times24=\frac{3.696}{3}=1.232$ cm³.

Contoh 3 (mencari tinggi dari volume): Sebuah kerucut memiliki volume $1.232$ cm³ dan jari-jari $14$ cm. Tentukan tingginya.

Penyelesaian: $t=\frac{3V}{\pi r^2}=\frac{3\times1.232}{\frac{22}{7}\times14^2}=\frac{3.696}{616}=6$ cm.

Latihan

1. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $6$ cm dan tinggi $7$ cm. Tentukan volumenya.

2. Sebuah kerucut memiliki diameter $20$ cm dan tinggi $21$ cm. Tentukan volumenya ($\pi=3,14$, boleh dibulatkan).

3. Volume kerucut dengan jari-jari $9$ cm dan tinggi $10$ cm ($\pi=3,14$) adalah ….

   A. $423,9$ cm³ B. $847,8$ cm³ C. $942$ cm³ D. $2.543,4$ cm³

4. Sebuah kerucut memiliki volume $616$ cm³ dan jari-jari $7$ cm. Tentukan tingginya.

5. Sebuah cetakan es krim berbentuk kerucut memiliki jari-jari $3,5$ cm dan tinggi $9$ cm. Tentukan volume es krim maksimum yang dapat ditampung ($\pi=\frac{22}{7}$).

6. Sebuah kerucut memiliki volume $1.570$ cm³ dan tinggi $30$ cm. Tentukan jari-jarinya ($\pi=3,14$).

Jawab:

1. $V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times6^2\times7=\frac{1}{3}\times22\times36=\frac{792}{3}=264$ cm³.
2. $r=10$; $V=\frac{1}{3}\times3,14\times10^2\times21=\frac{1}{3}\times3,14\times2.100=\frac{6.594}{3}=2.198$ cm³.
3. B. $V=\frac{1}{3}\times3,14\times81\times10=\frac{2.543,4}{3}=847,8$ cm³.
4. $t=\frac{3\times616}{\frac{22}{7}\times49}=\frac{1.848}{154}=12$ cm.
5. $V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times3,5^2\times9=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times12,25\times9=\frac{1}{3}\times346,5=115,5$ cm³.
6. $r^2=\frac{3\times1.570}{3,14\times30}=\frac{4.710}{94,2}=50$; $r=\sqrt{50}\approx7,07$ cm.

Kuis Formatif

1. Tuliskan rumus volume kerucut.
2. Sebuah kerucut memiliki jari-jari $9$ cm dan tinggi $14$ cm. Tentukan volumenya.
3. Sebuah kerucut memiliki volume $528$ cm³ dan tinggi $9$ cm. Tentukan jari-jarinya ($\pi=\frac{22}{7}$).
4. Mengapa volume kerucut sama dengan $\frac{1}{3}$ volume tabung yang seukuran (alas dan tinggi sama)?
5. Sebuah corong berbentuk kerucut memiliki diameter $10$ cm dan tinggi $12$ cm. Tentukan volume maksimum cairan yang dapat ditampung ($\pi=3,14$).

Jawaban kunci:

1. $V=\frac{1}{3}\pi r^2 t$.
2. $V=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times81\times14=\frac{1}{3}\times22\times81\times2=\frac{3.564}{3}=1.188$ cm³.
3. $r^2=\frac{3\times528}{\frac{22}{7}\times9}=\frac{1.584}{\frac{198}{7}}=\frac{1.584\times7}{198}=56$; $r=\sqrt{56}\approx7,48$ cm.
4. Ini adalah sifat geometris yang dapat dibuktikan secara eksperimen/kalkulus: volume kerucut selalu tepat $\frac{1}{3}$ dari volume tabung dengan alas dan tinggi yang sama, karena kerucut “menyempit” secara merata dari alas menuju satu titik puncak.
5. $r=5$; $V=\frac{1}{3}\times3,14\times25\times12=\frac{942}{3}=314$ cm³.

Materi ini dikembangkan dari Atiga, platform belajar matematika SMP.